Determine um conjunto de geradores para cada espaço vetorial a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um conjunto de geradores para o espaço vetorial , que é formado por polinômios do tipo com a condição . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e geração de espaços, que envolvem combinar vetores (ou, nesse caso, polinômios) para formar todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição dada: c = a - b2 . Essa equação relaciona os coeficientes dos polinômios no espaço . Podemos reescrevê-la para expressar em termos de e :
Passo 3
Substituindo essa expressão de p(x) = a + b x + (a - b2) x^2 na forma geral do polinômio p(x) = a (1 + x^2) + b (x - 12 x^2) , temos:
Vamos reescrever isso para separar os termos com e :
Passo 4
Agora, podemos ver que todo polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Isso significa que esses dois polinômios geram o espaço .
Resposta
Um conjunto de geradores para , 1 + x^2,;; x - 12 x^2 , é: