Qual a Transformação linear que:
tal que
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A questão pede para encontrarmos uma transformação linear
que transforma os vetores
em
e
em
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente matrizes que representam transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como estamos lidando com
, a matriz será
. Vamos chamar essa matriz de:
Aqui,
e
são os números que precisamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que
transforma os vetores
e
em outros vetores. Isso significa que:
e
Vamos multiplicar as matrizes para obter equações que nos ajudem a encontrar
e
.
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz
pelos vetores dados:
Para o primeiro vetor
:
Isso nos dá as equações:
Para o segundo vetor
:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da equação (4):
Agora, da equação (3):
Vamos substituir
na equação (1):
Então,
.
Agora, substituímos
na equação (2):
Portanto,
.
Resposta
A transformação linear
é representada pela matriz: