Qual a Transformação linear que:
T: Re^2 Re^2 tal que T(2,3)=(-1,5) e T(-1,1)=(-2,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A questão pede para encontrarmos uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente matrizes que representam transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como estamos lidando com A = a & b c & d , a matriz será . Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, e são os números que precisamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que A 2 3 = -1 5 transforma os vetores A -1 1 = -2 0 e em outros vetores. Isso significa que:
e
Vamos multiplicar as matrizes para obter equações que nos ajudem a encontrar e .

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz a & b c & d 2 3 = 2a + 3b 2c + 3d = -1 5 pelos vetores dados:
Para o primeiro vetor 2a + 3b = -1 (1) :
2c + 3d = 5 (2)
Isso nos dá as equações:
a & b c & d -1 1 = - a + b - c + d = -2 0
- a + b = -2 (3)
Para o segundo vetor - c + d = 0 (4) :
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da equação (4):
- c + d = 0 Rightarrow d = c
Agora, da equação (3):
- a + b = -2 Rightarrow b = a - 2
Vamos substituir 2a + 3(a - 2) = -1 2a + 3a - 6 = -1 5a = 5 a = 1 na equação (1):
2c + 3c = 5 5c = 5 c = 1
Então, .
Agora, substituímos na equação (2):
Portanto, .

Resposta

A transformação linear A = 1 & -1 1 & 1 é representada pela matriz:

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