Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! A questão pede para encontrarmos uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente matrizes que representam transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como estamos lidando com , a matriz será . Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, e são os números que precisamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que transforma os vetores e em outros vetores. Isso significa que:
e
Vamos multiplicar as matrizes para obter equações que nos ajudem a encontrar e .
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados:
Para o primeiro vetor :
Isso nos dá as equações:
Para o segundo vetor :
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Primeiro, da equação (4):
Agora, da equação (3):
Vamos substituir na equação (1):
Então, .
Agora, substituímos na equação (2):
Portanto, .
Resposta
A transformação linear é representada pela matriz: