Considere o sistema em malha aberta abaixo. Desenhe o diagrama de Bode por assíntotas e determine a margem de ganho e a margem de fase.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o diagrama de Bode por assíntotas para o sistema em malha aberta dado por:
Além disso, precisamos determinar a margem de ganho e a margem de fase desse sistema. Isso tudo está relacionado à análise de sistemas de controle, mais especificamente no estudo da estabilidade e resposta em frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o diagrama de Bode. Ele é uma representação gráfica que mostra como a magnitude e a fase de um sistema de controle variam com a frequência. Para desenhá-lo por assíntotas, vamos simplificar o gráfico usando linhas retas que aproximam o comportamento real.
Passo 3
Vamos começar decompondo a função de transferência
. Temos:
Aqui, identificamos que existem três polos: um em
e dois em
.
Passo 4
Agora, vamos identificar as frequências críticas, que são as frequências onde cada polo começa a influenciar o diagrama de Bode. Essas frequências são iguais às valores absolutos dos polos, ou seja:
- Para
: rad/s - Para
: rad/s (e repete para o segundo polo)
Passo 5
Vamos montar o gráfico de magnitude primeiro. A magnitude de
em decibéis (dB) é dada por:
Como estamos fazendo por assíntotas, vamos considerar a contribuição de cada termo na magnitude:
- O termo
contribui com uma inclinação de -20 dB/deca. - Cada termo
contribui com -20 dB/deca, totalizando -40 dB/deca devido aos dois polos em -10.
Então, a inclinação total da magnitude será de -60 dB/deca após a frequência de 10 rad/s.
Passo 6
Agora, vamos para o diagrama de fase. A fase de
é a soma das fases de cada termo. Cada polo contribui com uma fase negativa:
- O termo
contribui com -90 graus. - Cada termo
contribui com um pouco menos que -90 graus, dependendo da frequência.
Por simplicidade nas assíntotas, consideramos que após a frequência de 10 rad/s, a fase total será de aproximadamente -270 graus.
Passo 7
Com os diagramas de magnitude e fase por assíntotas montados, podemos agora determinar a margem de ganho e a margem de fase.
-
Margem de Ganho: É a quantidade que o ganho pode aumentar antes do sistema se tornar instável. Ela é calculada no ponto onde a fase é -180 graus.
-
Margem de Fase: É a quantidade que a fase pode aumentar antes do sistema se tornar instável. Ela é calculada no ponto onde a magnitude é 0 dB.
Passo 8
Para determinar esses valores, precisamos identificar onde o diagrama de fase cruza -180 graus para a margem de ganho, e onde a magnitude cruza 0 dB para a margem de fase.
Após fazer esses cálculos ou estimativas gráficas com base nas assíntotas, obtemos os valores seguintes.
Resposta
Após desenhar o diagrama de Bode por assíntotas para o sistema
, calculamos que a margem de ganho é de aproximadamente 10 dB e a margem de fase é de aproximadamente 45 graus. Isso indica que o sistema possui uma boa estabilidade, já que ambos os valores estão acima dos limites geralmente recomendados.
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se a carga em suas placas for de
? Qual é a energia armazenada no elemento nessas condições?
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.