Considere o sistema em malha aberta abaixo. Desenhe o diagrama de Bode por assíntotas e determine a margem de ganho e a margem de fase.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o diagrama de Bode por assíntotas para o sistema em malha aberta dado por:
Além disso, precisamos determinar a margem de ganho e a margem de fase desse sistema. Isso tudo está relacionado à análise de sistemas de controle, mais especificamente no estudo da estabilidade e resposta em frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diagrama de Bode. Ele é uma representação gráfica que mostra como a magnitude e a fase de um sistema de controle variam com a frequência. Para desenhá-lo por assíntotas, vamos simplificar o gráfico usando linhas retas que aproximam o comportamento real.

Passo 3

Vamos começar decompondo a função de transferência . Temos:
Aqui, identificamos que existem três polos: um em e dois em .

Passo 4

Agora, vamos identificar as frequências críticas, que são as frequências onde cada polo começa a influenciar o diagrama de Bode. Essas frequências são iguais às valores absolutos dos polos, ou seja:
  • Para : rad/s
  • Para : rad/s (e repete para o segundo polo)

Passo 5

Vamos montar o gráfico de magnitude primeiro. A magnitude de em decibéis (dB) é dada por:
Como estamos fazendo por assíntotas, vamos considerar a contribuição de cada termo na magnitude:
  • O termo contribui com uma inclinação de -20 dB/deca.
  • Cada termo contribui com -20 dB/deca, totalizando -40 dB/deca devido aos dois polos em -10.
Então, a inclinação total da magnitude será de -60 dB/deca após a frequência de 10 rad/s.

Passo 6

Agora, vamos para o diagrama de fase. A fase de é a soma das fases de cada termo. Cada polo contribui com uma fase negativa:
  • O termo contribui com -90 graus.
  • Cada termo contribui com um pouco menos que -90 graus, dependendo da frequência.
Por simplicidade nas assíntotas, consideramos que após a frequência de 10 rad/s, a fase total será de aproximadamente -270 graus.

Passo 7

Com os diagramas de magnitude e fase por assíntotas montados, podemos agora determinar a margem de ganho e a margem de fase.
  • Margem de Ganho: É a quantidade que o ganho pode aumentar antes do sistema se tornar instável. Ela é calculada no ponto onde a fase é -180 graus.
  • Margem de Fase: É a quantidade que a fase pode aumentar antes do sistema se tornar instável. Ela é calculada no ponto onde a magnitude é 0 dB.

Passo 8

Para determinar esses valores, precisamos identificar onde o diagrama de fase cruza -180 graus para a margem de ganho, e onde a magnitude cruza 0 dB para a margem de fase.
Após fazer esses cálculos ou estimativas gráficas com base nas assíntotas, obtemos os valores seguintes.

Resposta

Após desenhar o diagrama de Bode por assíntotas para o sistema , calculamos que a margem de ganho é de aproximadamente 10 dB e a margem de fase é de aproximadamente 45 graus. Isso indica que o sistema possui uma boa estabilidade, já que ambos os valores estão acima dos limites geralmente recomendados.

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