Para a função de transferência em malha aberta abaixo, esboce o diagrama de bode por assíntotas.
G(s)=(s+2)(s+500)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de transferência em malha aberta dada por:
G(s)=(s+2)(s+500)^2
O conteúdo que vamos usar aqui é o Diagrama de Bode, que nos ajuda a entender como um sistema responde em diferentes frequências. Para esboçar o diagrama usando assíntotas, vamos precisar identificar os pólos e zeros da função de transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os zeros e pólos de s + 2 = 0 Rightarrow s = -2 . O zero ocorre onde o numerador é zero:
(s + 500)^2 = 0 Rightarrow s = -500
Então, temos um zero em rad/s.
Os pólos ocorrem onde o denominador é zero:
Temos um pólo duplo em rad/s.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como cada pólo e zero afeta o Diagrama de Bode. Cada zero adiciona um ganho que sobe 20 dB/decade por ordem após sua frequência de corner. Já cada pólo adiciona um ganho que desce 20 dB/decade por ordem após sua frequência de corner.
No nosso caso:
  • O zero em 2 rad/s vai fazer o ganho aumentar a partir dessa frequência.
  • Os dois pólos em 500 rad/s vão fazer o ganho diminuir a partir dessa frequência, cada um contribuindo com -20 dB/decade, totalizando -40 dB/decade.

Passo 4

Vamos começar desenhando os assíntotas de ganho no diagrama de magnitude. Para isso, consideramos |G(0)| = |2500^2| = 2250000 = 0,000008 Rightarrow 20 log(0,000008) approx -105,6 dB em rad/s no eixo horizontal e o ganho em dB no eixo vertical.
  1. Antes de 2 rad/s:
    • Não há contribuições dos zeros ou pólos, então o ganho é constante. Calculamos o ganho em DC ( ):
    Então, a assíntota é uma linha horizontal em -105,6 dB.
  2. Entre 2 rad/s e 500 rad/s:
    • O zero em 2 rad/s adiciona +20 dB/decade. Então, a assíntota sobe a partir de 2 rad/s com inclinação de +20 dB/decade.
  3. Após 500 rad/s:
    • Cada pólo em 500 rad/s adiciona -20 dB/decade. Como temos dois pólos, a inclinação total vira -40 dB/decade a partir de 500 rad/s.

Passo 5

Para esboçar o diagrama, colocamos as frequências de corner (2 e 500 rad/s) nos pontos corretos no eixo horizontal.
  • De 0 a 2 rad/s: Linha horizontal em -105,6 dB.
  • A partir de 2 rad/s até 500 rad/s: Linha com inclinação de +20 dB/decade.
  • A partir de 500 rad/s: Linha com inclinação de -40 dB/decade.
Esse esboço nos dá a ideia geral de como a magnitude do sistema responde às diferentes frequências.

Resposta

O diagrama de Bode por assíntotas para a função de transferência apresenta:
  • Uma linha horizontal em -105,6 dB para rad/s.
  • Inclinação de +20 dB/decade entre 2 rad/s e 500 rad/s.
  • Inclinação de -40 dB/decade para rad/s.

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