Para a função de transferência em malha aberta abaixo, esboce o diagrama de bode por assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de transferência em malha aberta dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Diagrama de Bode, que nos ajuda a entender como um sistema responde em diferentes frequências. Para esboçar o diagrama usando assíntotas, vamos precisar identificar os pólos e zeros da função de transferência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os zeros e pólos de . O zero ocorre onde o numerador é zero:
Então, temos um zero em rad/s.
Os pólos ocorrem onde o denominador é zero:
Temos um pólo duplo em rad/s.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como cada pólo e zero afeta o Diagrama de Bode. Cada zero adiciona um ganho que sobe 20 dB/decade por ordem após sua frequência de corner. Já cada pólo adiciona um ganho que desce 20 dB/decade por ordem após sua frequência de corner.
No nosso caso:
O zero em 2 rad/s vai fazer o ganho aumentar a partir dessa frequência.
Os dois pólos em 500 rad/s vão fazer o ganho diminuir a partir dessa frequência, cada um contribuindo com -20 dB/decade, totalizando -40 dB/decade.
Passo 4
Vamos começar desenhando os assíntotas de ganho no diagrama de magnitude. Para isso, consideramos em rad/s no eixo horizontal e o ganho em dB no eixo vertical.
Antes de 2 rad/s:
Não há contribuições dos zeros ou pólos, então o ganho é constante. Calculamos o ganho em DC ():
Então, a assíntota é uma linha horizontal em -105,6 dB.
Entre 2 rad/s e 500 rad/s:
O zero em 2 rad/s adiciona +20 dB/decade. Então, a assíntota sobe a partir de 2 rad/s com inclinação de +20 dB/decade.
Após 500 rad/s:
Cada pólo em 500 rad/s adiciona -20 dB/decade. Como temos dois pólos, a inclinação total vira -40 dB/decade a partir de 500 rad/s.
Passo 5
Para esboçar o diagrama, colocamos as frequências de corner (2 e 500 rad/s) nos pontos corretos no eixo horizontal.
De 0 a 2 rad/s: Linha horizontal em -105,6 dB.
A partir de 2 rad/s até 500 rad/s: Linha com inclinação de +20 dB/decade.
A partir de 500 rad/s: Linha com inclinação de -40 dB/decade.
Esse esboço nos dá a ideia geral de como a magnitude do sistema responde às diferentes frequências.
Resposta
O diagrama de Bode por assíntotas para a função de transferência apresenta:
Uma linha horizontal em -105,6 dB para rad/s.
Inclinação de +20 dB/decade entre 2 rad/s e 500 rad/s.