Em uma corda se propagam duas ondas descritas respectivamente pelas equações
e.
.
Determine os comprimentos de onda e período das ondas 1 e 2 ;
Determine os comprimentos de onda e período das ondas 1 e 2 ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas ondas que se propagam em uma corda, e queremos descobrir o comprimento de onda e o período de cada uma delas. Para isso, vamos usar conceitos de ondas que envolvem equações matemáticas para descrever como elas se movem no espaço e no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as equações das ondas:
Essas equações estão na forma geral de uma onda senoidal:
Onde:
- $ A $ é a amplitude da onda.
- $ k $ é o número de onda.
- $ \omega $ é a frequência angular.
- $ \phi $ é a fase inicial (neste caso, não está presente).
- O sinal $ \pm $ indica se a onda está se movendo para a direita ou para a esquerda.
Passo 3
Para encontrar o comprimento de onda ($ \lambda
T $) de cada onda, precisamos identificar os valores de $ k $ e $ \omega $ nas equações dadas e então usar as seguintes relações:
Passo 4
Vamos começar com a primeira onda, $ y_{1}(x, t) = 5 \sin(4x - 10t) $.
Aqui, o coeficiente de $ x $ é 4, então:
E o coeficiente de $ t $ é 10 (o sinal negativo indica a direção, mas não afeta os valores que precisamos), então:
Passo 5
Agora, vamos usar as relações para encontrar o comprimento de onda $ \lambda_{1} $ e o período $ T_{1} $:
Para $ \lambda_{1} $:
Para $ T_{1} $:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda onda, $ y_{2}(x, t) = 5 \sin(12x + 10t) $.
Aqui, o coeficiente de $ x $ é 12, então:
E o coeficiente de $ t $ é 10, então:
Passo 7
Usando as mesmas relações para encontrar $ \lambda_{2} $ e $ T_{2} $:
Para $ \lambda_{2} $:
Para $ T_{2} $:
Resposta
Os comprimentos de onda e períodos das ondas são:
-
Onda 1:
- Comprimento de onda $ \lambda_{1} = \frac{\pi}{2} $ metros
- Período $ T_{1} = \frac{\pi}{5} $ segundos
-
Onda 2:
- Comprimento de onda $ \lambda_{2} = \frac{\pi}{6} $ metros
- Período $ T_{2} = \frac{\pi}{5} $ segundos