Em uma corda se propagam duas ondas descritas respectivamente pelas equações y1(x, t)=5 sen(4 x-10 t) e. y2(x, t)=5 sen(12 x+10 t).
Determine os comprimentos de onda e período das ondas 1 e 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas ondas que se propagam em uma corda, e queremos descobrir o comprimento de onda e o período de cada uma delas. Para isso, vamos usar conceitos de ondas que envolvem equações matemáticas para descrever como elas se movem no espaço e no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações das ondas:
y1(x, t) = 5 sin(4x - 10t)
y2(x, t) = 5 sin(12x + 10t)
Essas equações estão na forma geral de uma onda senoidal:
y(x, t) = A sin(kx pm omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda.
  • $ k $ é o número de onda.
  • $ \omega $ é a frequência angular.
  • $ \phi $ é a fase inicial (neste caso, não está presente).
  • O sinal $ \pm $ indica se a onda está se movendo para a direita ou para a esquerda.

Passo 3

Para encontrar o comprimento de onda ($ \lambda lambda í T $) de cada onda, precisamos identificar os valores de $ k $ e $ \omega $ nas equações dadas e então usar as seguintes relações:
T
k

Passo 4

Vamos começar com a primeira onda, $ y_{1}(x, t) = 5 \sin(4x - 10t) $.
Aqui, o coeficiente de $ x $ é 4, então:
y1(x, t) = 5 sin(4x - 10t)
E o coeficiente de $ t $ é 10 (o sinal negativo indica a direção, mas não afeta os valores que precisamos), então:
x

Passo 5

Agora, vamos usar as relações para encontrar o comprimento de onda $ \lambda_{1} $ e o período $ T_{1} $:
Para $ \lambda_{1} $:
lambda1
Para $ T_{1} $:
T1

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda onda, $ y_{2}(x, t) = 5 \sin(12x + 10t) $.
Aqui, o coeficiente de $ x $ é 12, então:
y2(x, t) = 5 sin(12x + 10t)
E o coeficiente de $ t $ é 10, então:
x

Passo 7

Usando as mesmas relações para encontrar $ \lambda_{2} $ e $ T_{2} $:
Para $ \lambda_{2} $:
lambda2
Para $ T_{2} $:
T2

Resposta

Os comprimentos de onda e períodos das ondas são:
  • Onda 1:
    • Comprimento de onda $ \lambda_{1} = \frac{\pi}{2} $ metros
    • Período $ T_{1} = \frac{\pi}{5} $ segundos
  • Onda 2:
    • Comprimento de onda $ \lambda_{2} = \frac{\pi}{6} $ metros
    • Período $ T_{2} = \frac{\pi}{5} $ segundos

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