Considere um sistema com momento angular j=1, cujo espaço de estados é gerado pela base |+1rang<=,|0rang<=,|-1rang<= de três autovetores comuns de J^2 (autovalor 2 hbar^2 ) e Jz (autovalores +hbar, 0 e -hbar respectivamente). O estado do sistema é:
|psirang<==alpha|+1rang<=+beta|0rang<=+gamma|-1rang<=
onde alpha, beta e gamma são três parâmetros complexos dados. Pede-se:
a) Calcule o valor médio do momento angular, lang<=Jrang<=, em termos de alpha, beta e gamma

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com momento angular $ j = 1 $ e nos dá um estado quântico $ |\psi\rangle = \alpha|+1\rangle + \beta|0\rangle + \gamma|-1\rangle $. O que precisamos fazer aqui é calcular o valor médio do momento angular, representado por $ \langle\mathbf{J}\rangle $, usando os coeficientes complexos $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $. Para isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados de operadores no espaço quântico, especialmente dos operadores de momento angular $ J_x $, $ J_y $ e $ J_z $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ \langle\mathbf{J}\rangle $ é um vetor que contém os valores esperados dos componentes $ J_x $, $ J_y $ e $ J_z $. Ou seja, $ \langle\mathbf{J}\rangle = (\langle J_x \rangle, \langle J_y \rangle, \langle J_z \rangle) $. Para cada componente, o valor esperado é dado por $ \langle J_i \rangle = \langle \psi | J_i | \psi \rangle $, onde $ i $ pode ser $ x $, $ y $ ou $ z $.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \langle J_z \rangle $, que é mais simples porque nosso estado já está na base diagonal de $ J_z $. Sabemos que:
lang<= Jz rang<=
Isso porque $ |+1\rangle $ tem valor próprio $ +\hbar $, $ |0\rangle $ tem $ 0 $, e $ |-1\rangle $ tem $ -\hbar $. Então, simplificando:
Jz

Passo 4

Agora, vamos para $ \langle J_x \rangle $ e $ \langle J_y \rangle $. Precisamos lembrar que os operadores $ J_x $ e $ J_y $ não são diagonais na base $ |+1\rangle, |0\rangle, |-1\rangle $. Eles podem ser expressos usando os operadores de subida e descida $ J_+ $ e $ J_- $:
lang<= Jx rang<=
Os operadores $ J_+ $ e $ J_- $ agem trocando os estados $ |m\rangle $ para $ |m \pm 1\rangle $. Calculando $ \langle J_x \rangle $ e $ \langle J_y \rangle $, encontramos:
lang<= Jy rang<=
Jx

Resposta

O valor médio do momento angular é dado por:
lang<=Jrang<= = ( hbar2 (alpha^* beta + beta^* alpha + beta^* gamma + gamma^* beta), hbar2i (alpha^* beta - beta^* alpha + beta^* gamma - gamma^* beta), hbar (|alpha|^2 - |gamma|^2) )

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