Considere um sistema com momento angular
, cujo espaço de estados é gerado pela base
de três autovetores comuns de
(autovalor
) e
(autovalores
e
respectivamente). O estado do sistema é:
onde
e
são três parâmetros complexos dados. Pede-se:
a) Calcule o valor médio do momento angular,
, em termos de
e
a) Calcule o valor médio do momento angular,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com momento angular $ j = 1 $ e nos dá um estado quântico $ |\psi\rangle = \alpha|+1\rangle + \beta|0\rangle + \gamma|-1\rangle $. O que precisamos fazer aqui é calcular o valor médio do momento angular, representado por $ \langle\mathbf{J}\rangle $, usando os coeficientes complexos $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $. Para isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados de operadores no espaço quântico, especialmente dos operadores de momento angular $ J_x $, $ J_y $ e $ J_z $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ \langle\mathbf{J}\rangle $ é um vetor que contém os valores esperados dos componentes $ J_x $, $ J_y $ e $ J_z $. Ou seja, $ \langle\mathbf{J}\rangle = (\langle J_x \rangle, \langle J_y \rangle, \langle J_z \rangle) $. Para cada componente, o valor esperado é dado por $ \langle J_i \rangle = \langle \psi | J_i | \psi \rangle $, onde $ i $ pode ser $ x $, $ y $ ou $ z $.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \langle J_z \rangle $, que é mais simples porque nosso estado já está na base diagonal de $ J_z $. Sabemos que:
Isso porque $ |+1\rangle $ tem valor próprio $ +\hbar $, $ |0\rangle $ tem $ 0 $, e $ |-1\rangle $ tem $ -\hbar $. Então, simplificando:
Passo 4
Agora, vamos para $ \langle J_x \rangle $ e $ \langle J_y \rangle $. Precisamos lembrar que os operadores $ J_x $ e $ J_y $ não são diagonais na base $ |+1\rangle, |0\rangle, |-1\rangle $. Eles podem ser expressos usando os operadores de subida e descida $ J_+ $ e $ J_- $:
Os operadores $ J_+ $ e $ J_- $ agem trocando os estados $ |m\rangle $ para $ |m \pm 1\rangle $. Calculando $ \langle J_x \rangle $ e $ \langle J_y \rangle $, encontramos:
Resposta
O valor médio do momento angular é dado por: