Duas partículas de massa m estão ligadas às extremidades de uma barra rígida, sem massa, de comprimento a. O sistema é livre para girar em três dimensões em torno do centro, mas o ponto central é fixo.
a) Mostre que a hamiltoniana do sistema é dada por
H=L^2m a^2
Dica: expresse a energia cinética clássica em termos do momento angular total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas partículas de massa $ m $ ligadas nas extremidades de uma barra rígida, sem massa, com comprimento $ a $. Esse sistema pode girar livremente em três dimensões ao redor do centro fixo. A gente precisa mostrar que a hamiltoniana do sistema é dada por:
m
Para resolver isso, vamos trabalhar com a energia cinética clássica e expressá-la em termos do momento angular total $ L $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ($ T $) de um sistema em movimento rotacional é dada por:
T
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia.
  • $ \omega $ é a velocidade angular.
Como as partículas estão a uma distância $ a $ do centro, o momento de inércia para cada partícula é $ m a^{2} T = 12 I omega^2 ãíé I $) é:
I

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o momento angular total ($ L L áà \omega $) pela relação:
omega
Podemos reorganizar essa equação para encontrar $ \omega $:
L = I omega

Passo 4

Vamos substituir $ \omega $ na expressão da energia cinética:
omega
Como vimos que $ I = 2 m a^{2} $, substituímos na equação:
T = 12 I ( LI )^2 = 12 I L^2I^2 = 12 L^2I

Passo 5

No contexto da mecânica clássica, a hamiltoniana ($ H H éàé T $):
T
No entanto, a resposta que precisamos mostrar é $ H = \frac{L^{2}}{m a^{2}} $. Isso sugere que houve uma consideração diferente no momento de inércia ou na definição do valor de $ L $.

Passo 6

Revisando, se considerarmos que cada partícula está a uma distância $ \frac{a}{2} $ do centro (já que o comprimento total é $ a $), então o momento de inércia para cada partícula seria:
a2
Totalizando para as duas partículas:
a

Passo 7

Com o momento de inércia correto, a energia cinética fica:
T = 12 I omega^2 = 12 times m a^22 times omega^2 = m a^24 omega^2
E o momento angular:
L = I omega = m a^22 omega Rightarrow omega = 2 Lm a^2
Substituindo $ \omega $ na energia cinética:
omega

Resposta

A hamiltoniana do sistema é dada por:
H = L^2m a^2

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