Duas partículas de massa
estão ligadas às extremidades de uma barra rígida, sem massa, de comprimento
. O sistema é livre para girar em três dimensões em torno do centro, mas o ponto central é fixo.
a) Mostre que a hamiltoniana do sistema é dada por
Dica: expresse a energia cinética clássica em termos do momento angular total.
a) Mostre que a hamiltoniana do sistema é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas partículas de massa $ m $ ligadas nas extremidades de uma barra rígida, sem massa, com comprimento $ a $. Esse sistema pode girar livremente em três dimensões ao redor do centro fixo. A gente precisa mostrar que a hamiltoniana do sistema é dada por:
Para resolver isso, vamos trabalhar com a energia cinética clássica e expressá-la em termos do momento angular total $ L $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ($ T $) de um sistema em movimento rotacional é dada por:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia.
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Como as partículas estão a uma distância $ a $ do centro, o momento de inércia para cada partícula é $ m a^{2}
I $) é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o momento angular total ($ L
\omega $) pela relação:
Podemos reorganizar essa equação para encontrar $ \omega $:
Passo 4
Vamos substituir $ \omega $ na expressão da energia cinética:
Como vimos que $ I = 2 m a^{2} $, substituímos na equação:
Passo 5
No contexto da mecânica clássica, a hamiltoniana ($ H
T $):
No entanto, a resposta que precisamos mostrar é $ H = \frac{L^{2}}{m a^{2}} $. Isso sugere que houve uma consideração diferente no momento de inércia ou na definição do valor de $ L $.
Passo 6
Revisando, se considerarmos que cada partícula está a uma distância $ \frac{a}{2} $ do centro (já que o comprimento total é $ a $), então o momento de inércia para cada partícula seria:
Totalizando para as duas partículas:
Passo 7
Com o momento de inércia correto, a energia cinética fica:
E o momento angular:
Substituindo $ \omega $ na energia cinética:
Resposta
A hamiltoniana do sistema é dada por: