Construa as matrizes que representam os operadores e , na base para os casos e .
3) Sendo , mostre que:
a) .
b) .
c) . denotam componentes arbitrárias de , e é o tensor totalmente antissimétrico de LeviCivita.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que construir as matrizes que representam os operadores de momento angular , , , , e na base para os casos onde e . Além disso, precisamos mostrar algumas relações de comutação envolvendo o operador angular . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre operadores de momento angular, suas representações matriciais em diferentes bases e as propriedades dos comutadores.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em construir as matrizes dos operadores de momento angular para e . Os estados são rotulados pelos números quânticos e , onde representa o número quântico total de momento angular e sua componente na direção . Para cada valor de , pode variar de até em passos de 1.
Passo 3
Vamos começar com . Para esse caso, pode ser , totalizando cinco estados. A matriz de é diagonal, com cada elemento na diagonal sendo . Portanto, para :
Passo 4
Para os operadores J+ e J-, que são os operadores de subida e descida, suas matrizes são preenchidas com elementos que conectam estados com m diferindo em pm1. As fórmulas para os elementos são:
Com as matrizes de J+ e J- definidas, podemos obter Jx e Jy usando as mesmas fórmulas mencionadas anteriormente:
Jx = J+ + J-2, Jy = J+ - J-2i
Passo 9
Agora, vamos para a segunda parte da questão, que envolve mostrar as relações de comutação dos operadores de momento angular L = R times P. Vamos abordar cada subitem:
a) [Lk, Rl] = i hbar varepsilonk l m Rm
Para provar isso, usamos as propriedades dos comutadores e a definição do operador momento angular.
Passo 10
Da definição, temos L = R times P. O componente Lk pode ser escrito como:
Lk = varepsilonk l m Rl Pm
Calculando o comutador [Lk, Rn]:
[Lk, Rn] = varepsilonk l m [Rl Pm, Rn]
Passo 11
Utilizamos a propriedade de comutador [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B. Sabemos que [Pm, Rn] = -i hbar de. Então:
[Lk, Rn] = varepsilonk l m (Rl [Pm, Rn] + [Rl, Rn] Pm) = varepsilonk l m (Rl (-i hbar de
Passo 12
Simplificando:
[Lk, Rn] = -i hbar varepsilonk l m Rl de
Como varepsilonk l n = -varepsilonk n l, podemos reescrever:
[Lk, Rn] = i hbar varepsilonk n l Rl
O que corresponde à relação que queríamos provar.
Passo 13
Da mesma forma, para o item b), [Lk, Pl] = i hbar varepsilonk l m Pm, seguimos o mesmo procedimento:
[Lk, Pn] = varepsilonk l m [Rl [Pm, Pn] + [Rl, Pn] Pm]
Sabemos que [Pm, Pn] = 0 e [Rl, Pn] = i hbar de, então:
[Lk, Pn] = varepsilonk l m (0 + i hbar de
Passo 14
Finalmente, para o item c), queremos mostrar que [Lk, P^2] = [Lk, R^2] = [Lk, R cdot P] = 0. Vamos considerar cada um separadamente.
Para P^2:
[Lk, P^2] = [Lk, Pm Pm] = Pm [Lk, Pm] + [Lk, Pm] Pm = i hbar varepsilonk m n Pn Pm + i hbar varepsilonk m n Pm Pn = 0
Isso porque varepsilonk m n = -varepsilonk n m e Pm Pn = Pn Pm.
Passo 15
Para R^2:
[Lk, R^2] = [Lk, Rm Rm] = Rm [Lk, Rm] + [Lk, Rm] Rm = i hbar varepsilonk m n Rn Rm + i hbar varepsilonk m n Rm Rn = 0
Novamente, devido à antisimetricidade de varepsilonk m n e à comutatividade de Rm e Rn.
Passo 16
Para R cdot P:
[Lk, R cdot P] = [Lk, Rm Pm] = Rm [Lk, Pm] + [Lk, Rm] Pm = i hbar varepsilonk m n Pn Rm + i hbar varepsilonk m n Rn Pm
Como Pn Rm = Rm Pn - i hbar de,
i hbar varepsilonk m n (Rm Pn - i hbar de
Os termos se cancelam devido à antisimetricidade de varepsilonk m n.