Construa as matrizes que representam os operadores J^2, J+, J-, Jx, Jy e Jz, na base |k, j, mrang<= para os casos j=2 e j=32.
3) Sendo L=R times P, mostre que:
a) [Lk, Rl]=i hbar varepsilonk l m Rm.
b) [Lk, Pl]=i hbar varepsilonk l m Pm.
c) [Lk, P^2]=[Lk, R^2]=[Lk, R cdot P]=0.
Li, Rj, Pj denotam componentes arbitrárias de L, R, P, e varepsiloni j k é o tensor totalmente antissimétrico de LeviCivita.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que construir as matrizes que representam os operadores de momento angular J^2, J+, J-, Jx, Jy e Jz na base |k, j, mrang<= para os casos onde j=2 e j=32. Além disso, precisamos mostrar algumas relações de comutação envolvendo o operador angular L = R times P. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre operadores de momento angular, suas representações matriciais em diferentes bases e as propriedades dos comutadores.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em construir as matrizes dos operadores de momento angular para j=2 e j=32. Os estados |k, j, mrang<= são rotulados pelos números quânticos j e m, onde j representa o número quântico total de momento angular e m sua componente na direção z. Para cada valor de j, m pode variar de -j até j em passos de 1.

Passo 3

Vamos começar com j=2. Para esse caso, m pode ser -2, -1, 0, 1, 2, totalizando cinco estados. A matriz de J^2 é diagonal, com cada elemento na diagonal sendo j(j+1)hbar^2. Portanto, para j=2:
J^2 = hbar^2 6 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 6 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 6 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 6 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 6

Passo 4

Para os operadores J+ e J-, que são os operadores de subida e descida, suas matrizes são preenchidas com elementos que conectam estados com m diferindo em pm1. As fórmulas para os elementos são:
J+|j, mrang<= = hbar raiz(j - m)(j + m + 1)|j, m+1rang<=
J-|j, mrang<= = hbar raiz(j + m)(j - m + 1)|j, m-1rang<=
Para j=2, a matriz de J+ será:
J+ = hbar 0 & raiz4 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & raiz6 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & raiz6 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & raiz4 0 & 0 & 0 & 0 & 0
E J- será a transposta de J+:
J- = hbar 0 & 0 & 0 & 0 & 0 raiz4 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & raiz6 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & raiz6 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & raiz4 & 0

Passo 5

Os operadores Jx e Jy podem ser expressos em termos de J+ e J-:
Jx = J+ + J-2, Jy = J+ - J-2i
Assim, podemos construir suas matrizes somando e subtraindo as matrizes de J+ e J- e dividindo por 2 ou 2i, respectivamente.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para j=32. Aqui, m pode ser -32, -12, 12, 32, totalizando quatro estados. A matriz de J^2 será:
J^2 = hbar^2 154 & 0 & 0 & 0 0 & 154 & 0 & 0 0 & 0 & 154 & 0 0 & 0 & 0 & 154

Passo 7

As matrizes de J+ e J- para j=32 serão:
J+ = hbar 0 & raiz3 & 0 & 0 0 & 0 & raiz3 & 0 0 & 0 & 0 & raiz3 0 & 0 & 0 & 0
J- = hbar 0 & 0 & 0 & 0 raiz3 & 0 & 0 & 0 0 & raiz3 & 0 & 0 0 & 0 & raiz3 & 0

Passo 8

Com as matrizes de J+ e J- definidas, podemos obter Jx e Jy usando as mesmas fórmulas mencionadas anteriormente:
Jx = J+ + J-2, Jy = J+ - J-2i

Passo 9

Agora, vamos para a segunda parte da questão, que envolve mostrar as relações de comutação dos operadores de momento angular L = R times P. Vamos abordar cada subitem:
a) [Lk, Rl] = i hbar varepsilonk l m Rm
Para provar isso, usamos as propriedades dos comutadores e a definição do operador momento angular.

Passo 10

Da definição, temos L = R times P. O componente Lk pode ser escrito como:
Lk = varepsilonk l m Rl Pm
Calculando o comutador [Lk, Rn]:
[Lk, Rn] = varepsilonk l m [Rl Pm, Rn]

Passo 11

Utilizamos a propriedade de comutador [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B. Sabemos que [Pm, Rn] = -i hbar de. Então:
[Lk, Rn] = varepsilonk l m (Rl [Pm, Rn] + [Rl, Rn] Pm) = varepsilonk l m (Rl (-i hbar de

Passo 12

Simplificando:
[Lk, Rn] = -i hbar varepsilonk l m Rl de
Como varepsilonk l n = -varepsilonk n l, podemos reescrever:
[Lk, Rn] = i hbar varepsilonk n l Rl
O que corresponde à relação que queríamos provar.

Passo 13

Da mesma forma, para o item b), [Lk, Pl] = i hbar varepsilonk l m Pm, seguimos o mesmo procedimento:
[Lk, Pn] = varepsilonk l m [Rl [Pm, Pn] + [Rl, Pn] Pm]
Sabemos que [Pm, Pn] = 0 e [Rl, Pn] = i hbar de, então:
[Lk, Pn] = varepsilonk l m (0 + i hbar de

Passo 14

Finalmente, para o item c), queremos mostrar que [Lk, P^2] = [Lk, R^2] = [Lk, R cdot P] = 0. Vamos considerar cada um separadamente.
Para P^2:
[Lk, P^2] = [Lk, Pm Pm] = Pm [Lk, Pm] + [Lk, Pm] Pm = i hbar varepsilonk m n Pn Pm + i hbar varepsilonk m n Pm Pn = 0
Isso porque varepsilonk m n = -varepsilonk n m e Pm Pn = Pn Pm.

Passo 15

Para R^2:
[Lk, R^2] = [Lk, Rm Rm] = Rm [Lk, Rm] + [Lk, Rm] Rm = i hbar varepsilonk m n Rn Rm + i hbar varepsilonk m n Rm Rn = 0
Novamente, devido à antisimetricidade de varepsilonk m n e à comutatividade de Rm e Rn.

Passo 16

Para R cdot P:
[Lk, R cdot P] = [Lk, Rm Pm] = Rm [Lk, Pm] + [Lk, Rm] Pm = i hbar varepsilonk m n Pn Rm + i hbar varepsilonk m n Rn Pm
Como Pn Rm = Rm Pn - i hbar de,
i hbar varepsilonk m n (Rm Pn - i hbar de
Os termos se cancelam devido à antisimetricidade de varepsilonk m n.

Resposta

Concluímos que:
a) [Lk, Rl] = i hbar varepsilonk l m Rm
b) [Lk, Pl] = i hbar varepsilonk l m Pm
c) [Lk, P^2] = [Lk, R^2] = [Lk, R cdot P] = 0

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