Uma placa muito fina homogênea é cortada no formato de parábola dada por 0 1-x^2, no S.I… Qual é o momento de inércia com relação à rotações ao redor do eixo y? Resolva por integração explícita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é calcular o momento de inércia de uma placa muito fina e homogênea que tem o formato de uma parábola definida por . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar esse momento de inércia em relação ao eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. No nosso caso, como a placa é homogênea, a densidade é constante, então podemos focar apenas na geometria.
Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo Iy = integral x^2 , dA , usamos a fórmula:
Aqui, representa a distância ao quadrado de cada ponto da placa em relação ao eixo , e é um elemento de área da placa.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. A equação da parábola é , e como varia de 0 até , sabemos que varia de -1 a 1 (porque quando , ).
Então, nossos limites são:
  • de -1 a 1
  • Para cada , de 0 a

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla para calcular Iy = integralx=-1^1 integraly=0^1 - x^2 x^2 , dy , dx :
Primeiro, integramos em relação a , mantendo constante.

Passo 5

Integrando em relação a integral0^1 - x^2 x^2 , dy = x^2 cdot y |0^1 - x^2 = x^2 (1 - x^2) - x^2 (0) = x^2 (1 - x^2) :
Iy = integral-1^1 x^2 (1 - x^2) , dx
Então, a integral simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
x^2 (1 - x^2) = x^2 - x^4
Portanto, a integral se torna:
Iy = integral-1^1 (x^2 - x^4) , dx

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = ( 13 - ( -13 ) ) = 23
integral-1^1 x^4 , dx = [ x^55 ]-1^1 = ( 15 - ( -15 ) ) = 25

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de Iy = 23 - 25 = 1015 - 615 = 415 :

Resposta

O momento de inércia da placa em relação ao eixo é unidades de momento de inércia no S.I.

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