Uma placa muito fina homogênea é cortada no formato de parábola dada por , no S.I… Qual é o momento de inércia com relação à rotações ao redor do eixo ? Resolva por integração explícita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é calcular o momento de inércia de uma placa muito fina e homogênea que tem o formato de uma parábola definida por . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar esse momento de inércia em relação ao eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. No nosso caso, como a placa é homogênea, a densidade é constante, então podemos focar apenas na geometria.
Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo , usamos a fórmula:
Aqui, representa a distância ao quadrado de cada ponto da placa em relação ao eixo , e é um elemento de área da placa.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. A equação da parábola é , e como varia de 0 até , sabemos que varia de -1 a 1 (porque quando , ).
Então, nossos limites são:
de -1 a 1
Para cada , de 0 a
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla para calcular :
Primeiro, integramos em relação a , mantendo constante.
Passo 5
Integrando em relação a :
Então, a integral simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de :
Resposta
O momento de inércia da placa em relação ao eixo é unidades de momento de inércia no S.I.