Sejam f(x, y)=y^21+x^2+2 y arctg x j=c: r(t)=t^2 i+ 2 t 0 , 0 <= t <= 1
a. Determine uma quncco f tal que nabla f: F

Passo 1

Ok, vamos lá! Você tem uma função . A questão pede para determinar uma força tal que . Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos, onde buscamos uma função potencial cuja gradiente seja igual ao campo vetorial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o gradiente de uma função. O gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) , denotado por , é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Então, para encontrar , precisamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( y^21+x^2 ) + partialpartial x ( 2y arctan(x) ) em relação a partialpartial x ( y^21+x^2 ) = y^2 cdot partialpartial x ( 11+x^2 ) = y^2 cdot ( -2x(1+x^2)^2 ) = -2x y^2(1+x^2)^2 :
partialpartial x ( 2y arctan(x) ) = 2y cdot 11+x^2
Primeiro, derivamos partial fpartial x = -2x y^2(1+x^2)^2 + 2y1+x^2 em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Então, somando as duas partes:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( y^21+x^2 ) + partialpartial y ( 2y arctan(x) ) em relação a partialpartial y ( y^21+x^2 ) = 2y1+x^2 :
partialpartial y ( 2y arctan(x) ) = 2 arctan(x)
Primeiro, derivamos partial fpartial y = 2y1+x^2 + 2 arctan(x) em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Então, somando as duas partes:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos expressar o gradiente nabla f = ( -2x y^2(1+x^2)^2 + 2y1+x^2, 2y1+x^2 + 2 arctan(x) ) :
Portanto, a força que procuramos é igual a este gradiente.

Resposta

A força F = ( -2x y^2(1+x^2)^2 + 2y1+x^2 ) i + ( 2y1+x^2 + 2 arctan(x) ) j tal que é:

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