Sejam
e
dadas por
e
. Use a Regra da Cadeia para determinar
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções:
definida por
e
definida por
. Nosso objetivo aqui é usar a Regra da Cadeia para encontrar a matriz Jacobiana da composição
. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e multiplicar matrizes Jacobianas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz Jacobiana da função
, que chamaremos de
. A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. Para
, calculamos as derivadas parciais de cada componente em relação a
,
e
:
Calculando cada derivada:
Então, a matriz Jacobiana de
fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz Jacobiana da função
, que chamaremos de
. Lembrando que
. Calculamos as derivadas parciais de cada componente em relação a
e
:
Calculando cada derivada:
Então, a matriz Jacobiana de
fica:
Passo 4
A Regra da Cadeia nos diz que para a composição de funções
, a matriz Jacobiana é o produto das matrizes Jacobianas de
avaliada em
e
. Ou seja:
Primeiro, vamos substituir
em
:
Então, substituindo na matriz Jacobiana de
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar as duas matrizes Jacobianas que encontramos:
Realizando a multiplicação de matrizes:
Simplificando cada entrada:
Resposta
A matriz Jacobiana da composição
é:
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Mostre que
é contínua em
.
Seja
dada por
. Calcule
.
Considere o sistema não linear
Use o Teorema da Aplicação Implícita para mostrar que existem um aberto
contendo 1 e um aberto
contendo
tais que, para cada
, existe um único
de maneira que
satisfaça o sistema. Determine
.
Seja
dada por
. Mostre que existem um aberto
contendo
, um aberto
contendo
e uma função
tais que
é a inversa de
. Determine
.