Sejam f: R^3 -> R^2 e g: R² -> R² dadas por f(x, y, z) = (x^3 + 2y, xy + 3z) e g(u, v) = (u + 5, v^2). Use a Regra da Cadeia para determinar J(g o f)(x, y, z).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções: definida por e definida por . Nosso objetivo aqui é usar a Regra da Cadeia para encontrar a matriz Jacobiana da composição . Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e multiplicar matrizes Jacobianas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz Jacobiana da função , que chamaremos de . A matriz Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. Para , calculamos as derivadas parciais de cada componente em relação a , e :
Calculando cada derivada:
Então, a matriz Jacobiana de fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz Jacobiana da função , que chamaremos de . Lembrando que . Calculamos as derivadas parciais de cada componente em relação a e :
Calculando cada derivada:
Então, a matriz Jacobiana de fica:

Passo 4

A Regra da Cadeia nos diz que para a composição de funções , a matriz Jacobiana é o produto das matrizes Jacobianas de avaliada em e . Ou seja:
Primeiro, vamos substituir em :
Então, substituindo na matriz Jacobiana de :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar as duas matrizes Jacobianas que encontramos:
Realizando a multiplicação de matrizes:
Simplificando cada entrada:

Resposta

A matriz Jacobiana da composição é:

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