Seja
dada por
. Mostre que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. O enunciado pede para mostrar que essa função é contínua em todo o espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de várias variáveis e propriedades de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Em termos simples, uma função é contínua se pequenas mudanças nas entradas resultam em pequenas mudanças nas saídas. Para funções de várias variáveis, como essa que tem 3 entradas (
) e 2 saídas, a continuidade significa que não há “saltos” ou “quebras” na função.
Passo 3
A gente sabe que se uma função
pode ser escrita como um conjunto de funções componentes que são todas contínuas, então a função
inteira também é contínua. No nosso caso,
, onde
e
.
Passo 4
Vamos analisar cada componente separadamente. Primeiro,
. Essa é uma função polinomial de
e
, e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Portanto,
é contínua em
.
Passo 5
Agora, vamos para
. A função
é contínua para todo
em
, e a função
é uma função polinomial de
e
, que também é contínua em
. A soma de funções contínuas é contínua, então
também é contínua em
.
Passo 6
Como mostramos que ambas as componentes
e
são contínuas em
, pela propriedade que a função inteira
é contínua se suas componentes forem contínuas, concluímos que
é contínua em
.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em todo o espaço
.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Calcule
.
Seja
dada por
. Determine e esboce o domínio e a imagem de
.
Sejam
e
dadas por
e
. Use a Regra da Cadeia para determinar
.
Considere o sistema não linear
Use o Teorema da Aplicação Implícita para mostrar que existem um aberto
contendo 1 e um aberto
contendo
tais que, para cada
, existe um único
de maneira que
satisfaça o sistema. Determine
.