Seja f: R^3 -> R^2 dada por f(x, y, z) = (x^2 + 5z, cos(y) + y*z). Mostre que f é contínua em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . O enunciado pede para mostrar que essa função é contínua em todo o espaço . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de várias variáveis e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Em termos simples, uma função é contínua se pequenas mudanças nas entradas resultam em pequenas mudanças nas saídas. Para funções de várias variáveis, como essa que tem 3 entradas ( ) e 2 saídas, a continuidade significa que não há “saltos” ou “quebras” na função.

Passo 3

A gente sabe que se uma função pode ser escrita como um conjunto de funções componentes que são todas contínuas, então a função inteira também é contínua. No nosso caso, , onde e .

Passo 4

Vamos analisar cada componente separadamente. Primeiro, . Essa é uma função polinomial de e , e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Portanto, é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos para . A função é contínua para todo em , e a função é uma função polinomial de e , que também é contínua em . A soma de funções contínuas é contínua, então também é contínua em .

Passo 6

Como mostramos que ambas as componentes e são contínuas em , pela propriedade que a função inteira é contínua se suas componentes forem contínuas, concluímos que é contínua em .

Resposta

Portanto, a função é contínua em todo o espaço .

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