Considere o sistema.
(a) Mostre que e são soluções fundamentais do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares representado por uma matriz e pede para mostrar que três vetores específicos multiplicados por funções exponenciais são soluções fundamentais desse sistema. Basicamente, estamos trabalhando com equações diferenciais de sistemas lineares e vamos precisar verificar se essas soluções realmente satisfazem o sistema dado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução fundamental. Em um sistema de equações diferenciais lineares, um conjunto de soluções fundamentais é um conjunto de soluções independentes que podem ser combinadas para formar qualquer solução geral do sistema. No nosso caso, temos três soluções propostas, o que é adequado para um sistema de 3 equações.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira solução proposta:
Para confirmar que é uma solução, precisamos calcular a derivada de em relação a e ver se ela é igual a .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Agora, multiplicando a matriz por :
Percebemos que:
Então, satisfaz a equação .

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda solução:
Calculando a derivada:
Multiplicando por :
Observamos que:
Portanto, também é uma solução do sistema.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar a terceira solução:
Calculando a derivada:
Multiplicando por :
Vemos que:
Assim, também satisfaz a equação do sistema.

Resposta

Concluímos que , e são soluções fundamentais do sistema dado.

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Seja o sistema .
© Resolva o PVI formado pelo sistema com condição inicial usando a matriz fundamental do sistema.
Considere o sistema.
(b) Resolva o PVI formado pelo sistema e .
Considere o sistema a um parâmetro , dado por
(b) Obtenha a solução geral quando e esboce o retrato de fase.
Seja o sistema .
(a) Mostre que e são soluções do sistema.