(a) Mostre que x^(1)(t)=(l1 1 1) e^2 t, x^(2)(t)=(r1 0 -1) e^-t e x^(3)(t)=(r0 1 -1) e^-t são soluções fundamentais do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares representado por uma matriz e pede para mostrar que três vetores específicos multiplicados por funções exponenciais são soluções fundamentais desse sistema. Basicamente, estamos trabalhando com equações diferenciais de sistemas lineares e vamos precisar verificar se essas soluções realmente satisfazem o sistema dado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução fundamental. Em um sistema de equações diferenciais lineares, um conjunto de soluções fundamentais é um conjunto de soluções independentes que podem ser combinadas para formar qualquer solução geral do sistema. No nosso caso, temos três soluções propostas, o que é adequado para um sistema de 3 equações.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira solução proposta:
x^(1)(t) = 1 1 1 e^2t
Para confirmar que é uma solução, precisamos calcular a derivada de em relação a e ver se ela é igual a .
Passo 4
Calculando a derivada de x^(1)prime(t) = 1 1 1 cdot 2e^2t = 2 1 1 1 e^2t :