Considere o sistema.
x^prime=(ccc 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ) x
(a) Mostre que x^(1)(t)=(l1 1 1) e^2 t, x^(2)(t)=(r1 0 -1) e^-t e x^(3)(t)=(r0 1 -1) e^-t são soluções fundamentais do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares representado por uma matriz e pede para mostrar que três vetores específicos multiplicados por funções exponenciais são soluções fundamentais desse sistema. Basicamente, estamos trabalhando com equações diferenciais de sistemas lineares e vamos precisar verificar se essas soluções realmente satisfazem o sistema dado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução fundamental. Em um sistema de equações diferenciais lineares, um conjunto de soluções fundamentais é um conjunto de soluções independentes que podem ser combinadas para formar qualquer solução geral do sistema. No nosso caso, temos três soluções propostas, o que é adequado para um sistema de 3 equações.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira solução proposta:
x^(1)(t) = 1 1 1 e^2t
Para confirmar que é uma solução, precisamos calcular a derivada de em relação a e ver se ela é igual a .

Passo 4

Calculando a derivada de x^(1)prime(t) = 1 1 1 cdot 2e^2t = 2 1 1 1 e^2t :
A x^(1)(t) = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 1 1 e^2t = 0+1+1 1+0+1 1+1+0 e^2t = 2 2 2 e^2t
Agora, multiplicando a matriz x^(1)prime(t) = 2 1 1 1 e^2t = 2 2 2 e^2t = A x^(1)(t) por :
Percebemos que:
Então, satisfaz a equação .

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda solução:
x^(2)(t) = 1 0 -1 e^-t
Calculando a derivada:
x^(2)prime(t) = 1 0 -1 cdot (-1)e^-t = - 1 0 -1 e^-t
Multiplicando A x^(2)(t) = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 0 -1 e^-t = 0+0-1 1+0-1 1+0+0 e^-t = -1 0 1 e^-t por x^(2)prime(t) = - 1 0 -1 e^-t = -1 0 1 e^-t = A x^(2)(t) :
Observamos que:
Portanto, também é uma solução do sistema.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar a terceira solução:
x^(3)(t) = 0 1 -1 e^-t
Calculando a derivada:
x^(3)prime(t) = 0 1 -1 cdot (-1)e^-t = - 0 1 -1 e^-t
Multiplicando A x^(3)(t) = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 1 -1 e^-t = 0+1-1 0+0-1 0+1+0 e^-t = 0 -1 1 e^-t por x^(3)prime(t) = - 0 1 -1 e^-t = 0 -1 1 e^-t = A x^(3)(t) :
Vemos que:
Assim, também satisfaz a equação do sistema.

Resposta

Concluímos que , e são soluções fundamentais do sistema dado.

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