(a) Mostre que e são soluções fundamentais do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares representado por uma matriz e pede para mostrar que três vetores específicos multiplicados por funções exponenciais são soluções fundamentais desse sistema. Basicamente, estamos trabalhando com equações diferenciais de sistemas lineares e vamos precisar verificar se essas soluções realmente satisfazem o sistema dado. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma solução fundamental. Em um sistema de equações diferenciais lineares, um conjunto de soluções fundamentais é um conjunto de soluções independentes que podem ser combinadas para formar qualquer solução geral do sistema. No nosso caso, temos três soluções propostas, o que é adequado para um sistema de 3 equações.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira solução proposta:
Para confirmar que é uma solução, precisamos calcular a derivada de em relação a e ver se ela é igual a .
Passo 4
Calculando a derivada de :
Agora, multiplicando a matriz por :
Percebemos que:
Então, satisfaz a equação .
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda solução:
Calculando a derivada:
Multiplicando por :
Observamos que:
Portanto, também é uma solução do sistema.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar a terceira solução:
Calculando a derivada:
Multiplicando por :
Vemos que:
Assim, também satisfaz a equação do sistema.
Resposta
Concluímos que , e são soluções fundamentais do sistema dado.