Seja o sistema .
© Resolva o PVI formado pelo sistema com condição inicial usando a matriz fundamental do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
E precisamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) com a condição inicial usando a matriz fundamental do sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais e matrizes fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz fundamental . A matriz fundamental é uma matriz solução do sistema que permite expressar todas as soluções gerais do sistema. Para encontrá-la, precisamos resolver o sistema homogêneo. Observando a matriz dos coeficientes:
Podemos notar que essa matriz depende da variável , e para simplificar, vamos buscar soluções da forma , onde é uma constante e é um vetor constante.

Passo 3

Assumindo , derivando em relação a :
Substituindo na equação original:
Cancelando de ambos os lados:
Isso nos leva ao problema de autovalores e autovetores para a matriz .

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos dois autovalores e, consequentemente, duas soluções independentes para a matriz fundamental .

Resposta

A solução do PVI é dada por:
Onde é a matriz fundamental encontrada a partir dos autovalores e autovetores do sistema.

Exercícios relacionados

Considere o sistema.
(b) Resolva o PVI formado pelo sistema e .
Resolva o sistema linear não homogêneo dado por
Considere o sistema.
(a) Mostre que e são soluções fundamentais do sistema.
Considere o sistema a um parâmetro , dado por
(b) Obtenha a solução geral quando e esboce o retrato de fase.