Seja o sistema x' = [[-4/t, 3/t], [-3/t, 6/t]] x, t > 0.
© Resolva o PVI formado pelo sistema com condição inicial x(1) = C(1, -1) usando a matriz fundamental Psi(t) do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
E precisamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) com a condição inicial usando a matriz fundamental do sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais e matrizes fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz fundamental . A matriz fundamental é uma matriz solução do sistema que permite expressar todas as soluções gerais do sistema. Para encontrá-la, precisamos resolver o sistema homogêneo. Observando a matriz dos coeficientes:
Podemos notar que essa matriz depende da variável , e para simplificar, vamos buscar soluções da forma , onde é uma constante e é um vetor constante.

Passo 3

Assumindo , derivando em relação a :
Substituindo na equação original:
Cancelando de ambos os lados:
Isso nos leva ao problema de autovalores e autovetores para a matriz .

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos dois autovalores e, consequentemente, duas soluções independentes para a matriz fundamental .

Resposta

A solução do PVI é dada por:
Onde é a matriz fundamental encontrada a partir dos autovalores e autovetores do sistema.

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