Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
E precisamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) com a condição inicial usando a matriz fundamental do sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais e matrizes fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz fundamental . A matriz fundamental é uma matriz solução do sistema que permite expressar todas as soluções gerais do sistema. Para encontrá-la, precisamos resolver o sistema homogêneo. Observando a matriz dos coeficientes:
Podemos notar que essa matriz depende da variável , e para simplificar, vamos buscar soluções da forma , onde é uma constante e é um vetor constante.
Passo 3
Assumindo , derivando em relação a :
Substituindo na equação original:
Cancelando de ambos os lados:
Isso nos leva ao problema de autovalores e autovetores para a matriz .
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos dois autovalores e, consequentemente, duas soluções independentes para a matriz fundamental .
Resposta
A solução do PVI é dada por:
Onde é a matriz fundamental encontrada a partir dos autovalores e autovetores do sistema.