Seja o sistema
.
© Resolva o PVI formado pelo sistema com condição inicial
usando a matriz fundamental
do sistema.
© Resolva o PVI formado pelo sistema com condição inicial
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de equações diferenciais dado por:
E precisamos resolver o Problema de Valor Inicial (PVI) com a condição inicial
usando a matriz fundamental
do sistema. Para isso, vamos utilizar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais e matrizes fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz fundamental
. A matriz fundamental é uma matriz solução do sistema que permite expressar todas as soluções gerais do sistema. Para encontrá-la, precisamos resolver o sistema homogêneo. Observando a matriz dos coeficientes:
Podemos notar que essa matriz depende da variável
, e para simplificar, vamos buscar soluções da forma
, onde
é uma constante e
é um vetor constante.
Passo 3
Assumindo
, derivando em relação a
:
Substituindo na equação original:
Cancelando
de ambos os lados:
Isso nos leva ao problema de autovalores e autovetores para a matriz
.
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores
resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos dois autovalores e, consequentemente, duas soluções independentes para a matriz fundamental
.
Resposta
A solução do PVI é dada por:
Onde
é a matriz fundamental encontrada a partir dos autovalores e autovetores do sistema.