Considere o sistema a um parâmetro
, dado por
© Resolva o PVI formado pelo sistema quando
e
. Faça um esboço da solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial para um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores para encontrar a solução do sistema quando
e a condição inicial é
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na matriz do sistema. Assim, a matriz fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica det(
) = 0, onde
são os autovalores e
é a matriz identidade.
Resolvendo:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes. Vamos começar com
.
Resolvendo
:
[
]
Da primeira equação:
Vamos isolar
:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
, o autovetor será o conjugado:
.
Passo 5
A solução geral do sistema é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores vezes
. Como os autovalores são complexos, podemos escrever a solução usando funções seno e cosseno.
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
.
Substituindo
:
Isso simplifica para:
Então,
e
pode ser zero, já que não há contribuição da função seno para a condição inicial.
Resposta
A solução do sistema com
e
é:
Exercícios relacionados
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre no semicírculo de raio
e sobre a poligonal que une os vértices
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é a curva
.
Seja o sistema
.
(b) Mostre que .
(b) Mostre que
Resolva o sistema linear não homogêneo dado por