Considere o sistema a um parâmetro alpha em R, dado por
x' = (2 -5) (x)
© Resolva o PVI formado pelo sistema quando alpha = 1 e x(0) = (1, 0). Faça um esboço da solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial para um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos de matrizes, autovalores e autovetores para encontrar a solução do sistema quando e a condição inicial é .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na matriz do sistema. Assim, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica det( ) = 0, onde são os autovalores e é a matriz identidade.
Resolvendo:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes. Vamos começar com .
Resolvendo :

[


]
Da primeira equação:
Vamos isolar :
Multiplicando numerador e denominador por :
Podemos escolher , então o autovetor é .
Para , o autovetor será o conjugado: .

Passo 5

A solução geral do sistema é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores vezes . Como os autovalores são complexos, podemos escrever a solução usando funções seno e cosseno.
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial .
Substituindo :
Isso simplifica para:
Então, e pode ser zero, já que não há contribuição da função seno para a condição inicial.

Resposta

A solução do sistema com e é:

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