Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^3 dado por F(x, y, z)=(y z, z(x+2 y), x y+y^2+2 z) e C é a curva sigma(t)=(t^3+1, cos ^3(pi t), t^4-t^3),-1 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Vamos precisar entender o que é um campo vetorial, integrais de linha e como aplicar o teorema fundamental nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, temos:
integralC F cdot ds
onde e é a curva parametrizada por para de -1 a 2.

Passo 3

O teorema fundamental do cálculo para integrais de linha diz que se o campo integralC F cdot ds = phi(r(b)) - phi(r(a)) for conservativo, ou seja, se existir uma função escalar tal que , então a integral de linha pode ser simplificada:
Aqui, e são os pontos inicial e final da curva .

Passo 4

Primeiro, precisamos verificar se F = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z ) é um campo conservativo. Para isso, vamos tentar encontrar uma função potencial partial phipartial x = yz partial phipartial y = z(x + 2y) partial phipartial z = xy + y^2 + 2z tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos integrar a primeira equação em relação a partial phipartial x = yz Rightarrow phi = yzx + g(y, z) :
Aqui, é uma função que depende apenas de e .

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação:
partial phipartial y = z(x + 2y)
Substituindo partialpartial y (yzx + g(y, z)) = zx + partial gpartial y = z(x + 2y) da etapa anterior:
zx + partial gpartial y = zx + 2zy Rightarrow partial gpartial y = 2zy
Isso implica que:
g(y, z) = zy^2 + h(z)
Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Agora, vamos usar a terceira equação:
partial phipartial z = xy + y^2 + 2z
Substituindo partialpartial z (yzx + zy^2 + h(z)) = yx + y^2 + dhdz = xy + y^2 + 2z das etapas anteriores:
yx + y^2 + dhdz = xy + y^2 + 2z Rightarrow dhdz = 2z
Isso nos dá:
h(z) = z^2 + C
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Passo 8

Agora, podemos escrever a função potencial completa phi = yzx + zy^2 + z^2 + C :
phi(x, y, z) = xyz + zy^2 + z^2
Como a constante se cancela na integral, podemos ignorá-la. Portanto:

Passo 9

Agora que temos a função potencial integralC F cdot ds = phi(r(2)) - phi(r(-1)) , podemos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental:
sigma(2) = (2^3 + 1, cos^3(2pi), 2^4 - 2^3) = (9, cos^3(2pi), 16 - 8) = (9, 1, 8)
Vamos calcular sigma(-1) = ((-1)^3 + 1, cos^3(-pi), (-1)^4 - (-1)^3) = (0, cos^3(pi), 1 + 1) = (0, (-1)^3, 2) = (0, -1, 2) e :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, calculamos phi(9, 1, 8) = 9 cdot 1 cdot 8 + 8 cdot 1^2 + 8^2 = 72 + 8 + 64 = 144 nesses pontos:
Para phi(0, -1, 2) = 0 cdot (-1) cdot 2 + 2 cdot (-1)^2 + 2^2 = 0 + 2 + 4 = 6 :
Para :

Resposta

A integral de linha vale:
integralC F cdot ds = 144 - 6 = 138

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