Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e C é a curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Vamos precisar entender o que é um campo vetorial, integrais de linha e como aplicar o teorema fundamental nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, temos:
onde e é a curva parametrizada por para de -1 a 2.

Passo 3

O teorema fundamental do cálculo para integrais de linha diz que se o campo for conservativo, ou seja, se existir uma função escalar tal que , então a integral de linha pode ser simplificada:
Aqui, e são os pontos inicial e final da curva .

Passo 4

Primeiro, precisamos verificar se é um campo conservativo. Para isso, vamos tentar encontrar uma função potencial tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e .

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo da etapa anterior:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Agora, vamos usar a terceira equação:
Substituindo das etapas anteriores:
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Passo 8

Agora, podemos escrever a função potencial completa :
Como a constante se cancela na integral, podemos ignorá-la. Portanto:

Passo 9

Agora que temos a função potencial , podemos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental:
Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, calculamos nesses pontos:
Para :
Para :

Resposta

A integral de linha vale:

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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e é a curva .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e a curva é dada por .
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
, onde é o campo vetorial em dado por e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos e . (Dica: integre no semicírculo de raio e sobre a poligonal que une os vértices .
Considere o sistema a um parâmetro , dado por
© Resolva o PVI formado pelo sistema quando e . Faça um esboço da solução.