Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Vamos precisar entender o que é um campo vetorial, integrais de linha e como aplicar o teorema fundamental nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho feito por um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, temos:
onde
e
é a curva parametrizada por
para
de -1 a 2.
Passo 3
O teorema fundamental do cálculo para integrais de linha diz que se o campo
for conservativo, ou seja, se existir uma função escalar
tal que
, então a integral de linha pode ser simplificada:
Aqui,
e
são os pontos inicial e final da curva
.
Passo 4
Primeiro, precisamos verificar se
é um campo conservativo. Para isso, vamos tentar encontrar uma função potencial
tal que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo
da etapa anterior:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, vamos usar a terceira equação:
Substituindo
das etapas anteriores:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 8
Agora, podemos escrever a função potencial completa
:
Como a constante
se cancela na integral, podemos ignorá-la. Portanto:
Passo 9
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental:
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, calculamos
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Resposta
A integral de linha vale:
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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e a curva
é dada por
.
Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre no semicírculo de raio
e sobre a poligonal que une os vértices
.
Considere o sistema a um parâmetro
, dado por
© Resolva o PVI formado pelo sistema quando
e
. Faça um esboço da solução.