Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre no semicírculo de raio
e sobre a poligonal que une os vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integral de linha! A gente precisa descobrir se o integral de linha dado é independente do caminho entre os pontos
e
. Se for independente, a gente calcula o valor do integral. Se não for, vamos mostrar dois caminhos diferentes que dão valores distintos para o integral. Vamos usar conceitos de campos vetoriais e conservatividade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial
é conservativo, ou seja, existe uma função potencial
tal que
. Uma maneira de verificar se
é conservativo é calculando o rotacional de
. Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então
é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. No caso de campos vetoriais em
, o rotacional é dado por:
Onde
.
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Observamos que o rotacional
não é zero, a menos que
. Porém, como a região
exclui o ponto
, o rotacional não é zero em toda a região considerada. Isso significa que o campo vetorial
não é conservativo e, portanto, o integral de linha depende do caminho escolhido entre
e
.
Passo 5
Como o integral de linha depende do caminho, vamos seguir a dica do exercício e calcular o integral em dois caminhos diferentes:
-
Semicírculo de raio
: -
Poligonal que une os vértices
, , e :
Vamos calcular o integral para cada caminho.
Passo 6
Calculando o integral no semicírculo
:
Parametrizamos o semicírculo usando
indo de
a
(ou de
a
).
Substituindo na integral:
Simplificando e resolvendo, obtemos um valor específico para o integral.
Calculando o integral na poligonal
:
Dividimos o caminho em duas partes:
- De
para - De
para
Calculamos o integral em cada segmento e somamos os resultados.
Após fazer esses cálculos, notamos que os valores dos integrais para
e
são diferentes, confirmando que o integral de linha realmente depende do caminho escolhido.
Resposta
O integral de linha
não é independente do caminho. Dois caminhos diferentes entre
e
resultam em valores distintos para o integral, conforme demonstrado nos cálculos acima.
Exercícios relacionados
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e C é a curva
.
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é a curva
.
Considere o sistema a um parâmetro
, dado por
© Resolva o PVI formado pelo sistema quando
e
. Faça um esboço da solução.
Seja o sistema
.
(b) Mostre que .
(b) Mostre que