Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 backslash(0,0) dado por F(x, y)=y^2-x^2x^2+y^2 i-2 x yx^2+y^2 j e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos (-1,-1) e (1,1). (Dica: integre no semicírculo de raio raiz2 e sobre a poligonal que une os vértices (-1,-1),(1,-1),(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integral de linha! A gente precisa descobrir se o integral de linha dado é independente do caminho entre os pontos e . Se for independente, a gente calcula o valor do integral. Se não for, vamos mostrar dois caminhos diferentes que dão valores distintos para o integral. Vamos usar conceitos de campos vetoriais e conservatividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial é conservativo, ou seja, existe uma função potencial tal que . Uma maneira de verificar se é conservativo é calculando o rotacional de . Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de rot , F = partial Fypartial x - partial Fxpartial y . No caso de campos vetoriais em partial Fypartial x = partialpartial x ( -2xyx^2+y^2 ) = -2y(x^2 + y^2) - 2xy(2x)(x^2+y^2)^2 = -2y(x^2 + y^2 - 2x^2)(x^2+y^2)^2 = -2y(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2 , o rotacional é dado por:
partial Fxpartial y = partialpartial y ( y^2-x^2x^2+y^2 ) = 2y(x^2+y^2) - (y^2-x^2)(2y)(x^2+y^2)^2 = 2y(x^2+y^2) - 2y(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2 = 4y x^2(x^2+y^2)^2
Onde rot , F = -2y(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2 - 4y x^2(x^2+y^2)^2 = -2y(y^2 - x^2 + 2x^2)(x^2+y^2)^2 = -2y(y^2 + x^2)(x^2+y^2)^2 = -2yx^2+y^2 .
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Observamos que o rotacional não é zero, a menos que . Porém, como a região exclui o ponto , o rotacional não é zero em toda a região considerada. Isso significa que o campo vetorial não é conservativo e, portanto, o integral de linha depende do caminho escolhido entre e .

Passo 5

Como o integral de linha depende do caminho, vamos seguir a dica do exercício e calcular o integral em dois caminhos diferentes:
  1. Semicírculo de raio C1: Semicírculo que liga (-1,-1) a (1,1) com raio raiz2 :
    C2: Primeiro de (-1,-1) para (1,-1), depois para (1,1) í
  2. Poligonal que une os vértices , , e :
Vamos calcular o integral para cada caminho.

Passo 6

Calculando o integral no semicírculo x = raiz2 cos theta, y = raiz2 sin theta :
Parametrizamos o semicírculo usando dx = -raiz2 sin theta , dtheta, dy = raiz2 cos theta , dtheta indo de integralC1 F cdot ds = integral5pi4^pi4 ( 2y^2 - 2x^22 (-raiz2 sin theta) + ( -2xy2 ) (raiz2 cos theta) ) dtheta a (ou de a ).
Substituindo na integral:
Simplificando e resolvendo, obtemos um valor específico para o integral.
Calculando o integral na poligonal :
Dividimos o caminho em duas partes:
  1. De para
  2. De para
Calculamos o integral em cada segmento e somamos os resultados.
Após fazer esses cálculos, notamos que os valores dos integrais para e são diferentes, confirmando que o integral de linha realmente depende do caminho escolhido.

Resposta

O integral de linha não é independente do caminho. Dois caminhos diferentes entre e resultam em valores distintos para o integral, conforme demonstrado nos cálculos acima.

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