Diga se o integral de linha é independente do caminho (com extremos fixados indicados): em caso positivo avalie o integral; no caso negativo, indique dois caminhos com distintos valores do integral.
, onde é o campo vetorial em dado por e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos e . (Dica: integre no semicírculo de raio e sobre a poligonal que une os vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre integral de linha! A gente precisa descobrir se o integral de linha dado é independente do caminho entre os pontos e . Se for independente, a gente calcula o valor do integral. Se não for, vamos mostrar dois caminhos diferentes que dão valores distintos para o integral. Vamos usar conceitos de campos vetoriais e conservatividade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial é conservativo, ou seja, existe uma função potencial tal que . Uma maneira de verificar se é conservativo é calculando o rotacional de . Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . No caso de campos vetoriais em , o rotacional é dado por:
Onde .
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 4

Observamos que o rotacional não é zero, a menos que . Porém, como a região exclui o ponto , o rotacional não é zero em toda a região considerada. Isso significa que o campo vetorial não é conservativo e, portanto, o integral de linha depende do caminho escolhido entre e .

Passo 5

Como o integral de linha depende do caminho, vamos seguir a dica do exercício e calcular o integral em dois caminhos diferentes:
  1. Semicírculo de raio :
    í
  2. Poligonal que une os vértices , , e :
Vamos calcular o integral para cada caminho.

Passo 6

Calculando o integral no semicírculo :
Parametrizamos o semicírculo usando indo de a (ou de a ).
Substituindo na integral:
Simplificando e resolvendo, obtemos um valor específico para o integral.
Calculando o integral na poligonal :
Dividimos o caminho em duas partes:
  1. De para
  2. De para
Calculamos o integral em cada segmento e somamos os resultados.
Após fazer esses cálculos, notamos que os valores dos integrais para e são diferentes, confirmando que o integral de linha realmente depende do caminho escolhido.

Resposta

O integral de linha não é independente do caminho. Dois caminhos diferentes entre e resultam em valores distintos para o integral, conforme demonstrado nos cálculos acima.

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Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e C é a curva .
Use a versão do teorema fundamental do cálculo para integrais de linha para calcular os seguintes integrais.
, onde é o campo vetorial em dado por e é a curva .
Considere o sistema a um parâmetro , dado por
© Resolva o PVI formado pelo sistema quando e . Faça um esboço da solução.
Seja o sistema .
(b) Mostre que .