Seja o sistema
.
(b) Mostre que
.
(b) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais dado por uma matriz que depende de
. A tarefa é mostrar que o Wronskiano das soluções desse sistema,
, não é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calculá-lo para sistemas de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Em sistemas de equações diferenciais, o Wronskiano é um determinante que ajuda a verificar se um conjunto de soluções é linearmente independente. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto
, significa que as soluções são linearmente independentes nesse ponto.
Passo 3
Para calcular o Wronskiano
, usamos o seguinte determinante:
Onde
e
são duas soluções do sistema.
Passo 4
No entanto, ao invés de conhecer as soluções explicitamente, podemos usar uma propriedade do Wronskiano para sistemas lineares: o Wronskiano satisfaz uma equação diferencial conhecida como a fórmula de Abel. Para nosso sistema:
O Wronskiano
satisfaz:
Onde
é a soma dos elementos da diagonal da matriz
.
Passo 5
Vamos calcular a trace da matriz
:
Passo 6
A equação diferencial para o Wronskiano fica então:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver.
Passo 7
Para resolver
, vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Isso mostra que o Wronskiano é proporcional a
.
Passo 9
Como
e
é sempre positivo, o Wronskiano
não é zero, a menos que
. Mas se
, isso significaria que as soluções são linearmente dependentes, o que contraria a hipótese de que temos duas soluções fundamentais.
Resposta
Portanto, concluímos que
.