Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais dado por uma matriz que depende de . A tarefa é mostrar que o Wronskiano das soluções desse sistema, , não é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como calculá-lo para sistemas de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Em sistemas de equações diferenciais, o Wronskiano é um determinante que ajuda a verificar se um conjunto de soluções é linearmente independente. Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto , significa que as soluções são linearmente independentes nesse ponto.
Passo 3
Para calcular o Wronskiano , usamos o seguinte determinante:
Onde e são duas soluções do sistema.
Passo 4
No entanto, ao invés de conhecer as soluções explicitamente, podemos usar uma propriedade do Wronskiano para sistemas lineares: o Wronskiano satisfaz uma equação diferencial conhecida como a fórmula de Abel. Para nosso sistema:
O Wronskiano satisfaz:
Onde é a soma dos elementos da diagonal da matriz .
Passo 5
Vamos calcular a trace da matriz :
Passo 6
A equação diferencial para o Wronskiano fica então:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver.
Passo 7
Para resolver , vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Isso mostra que o Wronskiano é proporcional a .
Passo 9
Como e é sempre positivo, o Wronskiano não é zero, a menos que . Mas se , isso significaria que as soluções são linearmente dependentes, o que contraria a hipótese de que temos duas soluções fundamentais.