Resolva o sistema linear não homogêneo dado por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear não homogêneo que me foi passado. O problema envolve uma equação diferencial do tipo , onde é uma matriz de coeficientes e é o termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para o sistema completo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação, ou seja, . Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . A matriz dada é:

Passo 3

Para encontrar os autovalores, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Calculando o determinante:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso resulta nas equações:
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso resulta nas equações:
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa , onde .
Vamos assumir uma solução particular da forma . Diferenciando, temos:
Substituindo na equação original:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 8

Vamos propor soluções para e da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas. Substituindo essas expressões nas equações do Passo 7:
Primeira equação:
Simplificando:
Mas isso não resolve de forma direta, então vamos reconsiderar nossa suposição. Vamos tentar incluir um termo constante:
Substituindo nas equações:
Primeira equação:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá:
Segunda equação:
Simplificando:
Isso nos dá:

Passo 9

Agora, temos um sistema de equações para , , e :
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeira equação:
Terceira equação:
Substituindo :
Então,
Agora, vamos para a segunda e quarta equações.
Quarta equação:
Segunda equação:
Substituindo :
Então,

Passo 10

Agora que encontramos os valores de , , e , podemos escrever a solução particular:

Passo 11

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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Seja o sistema .
(b) Mostre que .
Considere o sistema a um parâmetro , dado por
© Resolva o PVI formado pelo sistema quando e . Faça um esboço da solução.
Considere o sistema.
(b) Resolva o PVI formado pelo sistema e .
Seja o sistema .
© Resolva o PVI formado pelo sistema com condição inicial usando a matriz fundamental do sistema.