Beleza, vamos resolver esse sistema linear não homogêneo que me foi passado. O problema envolve uma equação diferencial do tipo , onde é uma matriz de coeficientes e é o termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para o sistema completo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte homogênea da equação, ou seja, . Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . A matriz dada é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Calculando o determinante:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta nas equações:
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta nas equações:
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é .
Passo 6
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa , onde .
Vamos assumir uma solução particular da forma . Diferenciando, temos:
Substituindo na equação original:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 8
Vamos propor soluções para e da forma:
Onde e são constantes a serem determinadas. Substituindo essas expressões nas equações do Passo 7:
Primeira equação:
Simplificando:
Mas isso não resolve de forma direta, então vamos reconsiderar nossa suposição. Vamos tentar incluir um termo constante:
Substituindo nas equações:
Primeira equação:
Agrupando termos semelhantes:
Isso nos dá:
Segunda equação:
Simplificando:
Isso nos dá:
Passo 9
Agora, temos um sistema de equações para , , e :
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Primeira equação:
Terceira equação:
Substituindo :
Então,
Agora, vamos para a segunda e quarta equações.
Quarta equação:
Segunda equação:
Substituindo :
Então,
Passo 10
Agora que encontramos os valores de , , e , podemos escrever a solução particular:
Passo 11
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.