Dez partículas de um gás monoatômico ideal estão inicialmente em equilíbrio térmico com os seus arredores. Quando a amostra é então aquecida para 634 K , enquanto o volume é mantido constante, o valor de entropia dobra. Qual é a temperatura inicial da amostra?

Passo 1

Então, temos uma questão de termodinâmica envolvendo um gás monoatômico ideal. O enunciado nos diz que dez partículas desse gás estão inicialmente em equilíbrio térmico com o ambiente. Quando aquecemos a amostra até 634 K, mantendo o volume constante, a entropia dobra. Precisamos descobrir qual era a temperatura inicial da amostra. Para resolver isso, vamos precisar entender como a entropia muda com a temperatura em processos a volume constante e usar as fórmulas apropriadas da termodinâmica dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal monoatômico, a variação de entropia ($ \Delta S $) durante um processo a volume constante pode ser calculada usando a fórmula:
De
Onde:
  • $ n $ é o número de mols
  • $ C_V $ é a capacidade calorífica a volume constante
  • $ T_f $ é a temperatura final
  • $ T_i $ é a temperatura inicial

Passo 3

Sabemos que a entropia dobra, ou seja, $ \Delta S = S_f - S_i = S_i $, então:
De
Mas também sabemos que $ S_f = S_i + \Delta S $, então:
Sf = 2Si implies De

Passo 4

Para um gás monoatômico ideal, a capacidade calorífica a volume constante $ C_V $ é:
CV
Onde $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R \approx 8,314 , J/mol·K $).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o número de mols $ n $. Como temos 10 partículas, usamos a relação entre partículas e mols:
n úíú

Passo 6

Substituindo $ C_V $ e $ n $ na equação da entropia:
CV
E sabemos que $ S_i = \Delta S $, então:
n

Passo 7

Simplificando a equação:
32 times 8,314 ln(634Ti) = 1
ln(634Ti) = 23 times 8,314 approx 0,0803

Passo 8

Agora, resolvemos para $ T_i $:
Ti
634Ti = e^0,0803 approx 1,0837

Resposta

A temperatura inicial da amostra era aproximadamente 585 K.

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