As energias possíveis para um certo sistema podem ser escritas como
. Imagine que há
sistemas deste tipo. Defina
como o número de diferentes maneiras que você pode garantir que
desses sistemas tenhas energia total
. Encontre a entropia definida como
. (dica: para
usem a aproximação de Stirling:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sistemas com energias quantizadas dadas por
. Temos
desses sistemas e queremos encontrar o número de maneiras diferentes (
) de distribuir uma energia total
entre eles, garantindo que pelo menos um sistema tenha essa energia total. Para isso, vamos calcular a entropia
. Vamos precisar usar a aproximação de Stirling para simplificar os cálculos quando
for grande.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada sistema pode ter energias discretas
. Se temos
sistemas, queremos distribuir a energia total
entre eles. Isso se parece com um problema de particionamento de energia em física estatística.
Passo 3
A quantidade
representa o número de microestados possíveis para a energia total
. Para sistemas independentes, o número total de microestados é o produto dos microestados de cada sistema. Mas como queremos que pelo menos um sistema carregue toda a energia
, precisamos considerar essa condição.
Passo 4
Vamos calcular
considerando que um sistema específico tem energia
e os outros
sistemas têm energia zero. Como os sistemas são indistinguíveis, multiplicamos pela quantidade de sistemas
:
Isso porque há apenas uma maneira de ter um sistema com energia
e os outros com zero.
Passo 5
Agora, aplicamos a definição da entropia:
Resposta
A entropia é
.