Considere o sistema de ponto flutuante F(b, n, e1, e2). Responda os itens a seguir, justificando corretamente:
(d) É possível existir um sistema de ponto flutuante F(b, 2, -2, 5) com 37 elementos? Justifique com base nos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de ponto flutuante representado por . Basicamente, isso define como os números são representados nesse sistema usando uma certa base , número de dígitos na mantissa , e os limites dos expoentes (mínimo) e (máximo). Nosso objetivo aqui é descobrir se, com esses parâmetros , conseguimos ter exatamente 37 elementos no sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o número total de elementos em um sistema de ponto flutuante e verificar se conseguimos chegar a 37 elementos com esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o número total de elementos em um sistema de ponto flutuante. Esse total inclui todos os números que podemos representar: positivos, negativos e o zero. A fórmula geral para calcular isso é:
Aqui:
  • representa os sinais positivo e negativo.
  • dá o número de mantissas distintas que podemos ter.
  • é a quantidade de expoentes possíveis.
  • O é para contar o zero.
Vamos aplicar isso aos nossos parâmetros.

Passo 3

Substituindo os valores que temos:
A fórmula fica:
Simplificando:
Pois .

Passo 4

Nosso objetivo é que esse total seja igual a 37. Então, temos a equação:
Vamos simplificar:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 4 para simplificar:

Passo 5

Agora, temos a equação:
Essa é uma equação quadrática. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de :

Passo 6

Observando os valores de que obtivemos:
Sabemos que deve ser um número inteiro maior ou igual a 2, porque representa a base do sistema numérico. No entanto, é aproximadamente 3,16, então:
Nenhum desses valores é um número inteiro válido para a base .

Resposta

Não, não é possível existir um sistema de ponto flutuante com 37 elementos, pois não existe uma base inteira que satisfaça a equação necessária para alcançar esse número de elementos.

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