Considere o sistema de ponto flutuante
. Responda os itens a seguir, justificando corretamente:
(d) É possível existir um sistema de ponto flutuante
com 37 elementos? Justifique com base nos itens anteriores.
(d) É possível existir um sistema de ponto flutuante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de ponto flutuante representado por
. Basicamente, isso define como os números são representados nesse sistema usando uma certa base
, número de dígitos na mantissa
, e os limites dos expoentes
(mínimo) e
(máximo). Nosso objetivo aqui é descobrir se, com esses parâmetros
, conseguimos ter exatamente 37 elementos no sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o número total de elementos em um sistema de ponto flutuante e verificar se conseguimos chegar a 37 elementos com esses parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o número total de elementos em um sistema de ponto flutuante. Esse total inclui todos os números que podemos representar: positivos, negativos e o zero. A fórmula geral para calcular isso é:
Aqui:
-
representa os sinais positivo e negativo. -
dá o número de mantissas distintas que podemos ter. -
é a quantidade de expoentes possíveis. - O
é para contar o zero.
Vamos aplicar isso aos nossos parâmetros.
Passo 3
Substituindo os valores que temos:
A fórmula fica:
Simplificando:
Pois
.
Passo 4
Nosso objetivo é que esse total seja igual a 37. Então, temos a equação:
Vamos simplificar:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 4 para simplificar:
Passo 5
Agora, temos a equação:
Essa é uma equação quadrática. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de
:
Passo 6
Observando os valores de
que obtivemos:
Sabemos que
deve ser um número inteiro maior ou igual a 2, porque representa a base do sistema numérico. No entanto,
é aproximadamente 3,16, então:
Nenhum desses valores é um número inteiro válido para a base
.
Resposta
Não, não é possível existir um sistema de ponto flutuante
com 37 elementos, pois não existe uma base inteira
que satisfaça a equação necessária para alcançar esse número de elementos.