Considere o sistema X^prime=A X+F, com A=[ccc1 & -2 & 2 -2 & 1 & 2 2 & 2 & 1] e F=[c-9 t 0 -18 t].
Verifique que Xp=[c5 t+1 2 t 4 t+2] é solução particular de X^prime=A X+F e expresse a solução geral do sistema. Resp. X=c1[l1 0 1] e^3 t+c2[c-1 1 0] e^3 t+c3[c-1 -1 1] e^-3 t+[c5 t+1 2 t 4 t+2].

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais na forma , onde é uma matriz que nos dá como as variáveis interagem entre si, e é um vetor que representa uma força externa ou influência que está sendo aplicada ao sistema. Neste exercício, precisamos verificar se um certo vetor é uma solução particular desse sistema e, depois, encontrar a solução geral que combina todas as possíveis soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é uma solução particular. Isso quer dizer que, se a gente substituir na equação do sistema, a igualdade deve se manter verdadeira. Então, vamos calcular e ver se ele é igual a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de 5t + 1 2t 4t + 2 . Dado que Xp' = 5 2 4 , a derivada é simplesmente:

Passo 4

Agora, vamos calcular A = 1 & -2 & 2 -2 & 1 & 2 2 & 2 & 1 , Xp = 5t + 1 2t 4t + 2 . Multiplicando a matriz A Xp = 1(5t + 1) + (-2)(2t) + 2(4t + 2) -2(5t + 1) + 1(2t) + 2(4t + 2) 2(5t + 1) + 2(2t) + 1(4t + 2) = 5t + 1 - 4t + 8t + 4 -10t - 2 + 2t + 8t + 4 10t + 2 + 4t + 4t + 2 = 9t + 5 0t + 2 18t + 4 pela matriz :
Multiplicando:

Passo 5

Agora, adicionamos o vetor -9t 0 -18t a A Xp + F = 9t + 5 0t + 2 18t + 4 + -9t 0 -18t = 0t + 5 0t + 2 0t + 4 = 5 2 4 :

Passo 6

Comparando Xp' = 5 2 4 e A Xp + F = 5 2 4 com , vemos que:
Como eles são iguais, isso confirma que é realmente uma solução particular do sistema.

Passo 7

Agora, para encontrar a solução geral do sistema, precisamos combinar a solução particular com a solução da equação homogênea associada . A solução geral será a soma da solução homogênea mais a solução particular.

Passo 8

A solução homogênea Xh = c1 1 0 1 e^3t + c2 -1 1 0 e^3t + c3 -1 -1 1 e^-3t pode ser encontrada usando os autovalores e autovetores da matriz . No enunciado, já nos deram a solução homogênea:
onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 9

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral do sistema:
X = Xh + Xp = c1 1 0 1 e^3t + c2 -1 1 0 e^3t + c3 -1 -1 1 e^-3t + 5t + 1 2t 4t + 2

Resposta

A solução geral do sistema é
X = c11 0 1 e^3t + c2-1 1 0 e^3t + c3-1 -1 1 e^-3t + 5t + 1 2t 4t + 2
onde são constantes reais.

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