Escreva a EDO y^prime prime prime-y^prime+y=cos t como sistema de EDO de primeira ordem na forma normal. Expresse o sistema como X^prime=A X+F.
Resp l x1 ^prime=x2 x2 ^prime=x3 x3 ^prime=-x1+x2+cos t , A=[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 ] e F=[c 0 0 cos t ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para transformar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem em um sistema de EDOs de primeira ordem na forma normal. A matéria que vamos usar aqui é a transformação de ordens de EDOs e sistemas de equações. Precisamos entender como quebrar uma EDO de ordem mais alta em equações de ordem menor e então montar a matriz e o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as derivadas na EDO original: . Queremos transformar isso em um sistema de primeiras ordens. Para isso, vamos definir novas variáveis que representem as derivadas de .

Passo 3

Vamos definir:
x1 = y
x2 = y' = x1'
x3 = y'' = x2'
Dessa forma, conseguimos expressar a EDO original em termos dessas novas variáveis.

Passo 4

Agora, substituímos essas definições na EDO original:
y''' = x3'
Então, a equação fica:
x3' - x2 + x1 = cos t
Isso nos dá a terceira equação do sistema.

Passo 5

Agora, podemos escrever o sistema de equações de primeira ordem:
x1' = x2 x2' = x3 x3' = -x1 + x2 + cos t
Esse é o sistema na forma normal que estamos procurando.

Passo 6

Vamos organizar isso na forma matricial . Aqui, é o vetor das variáveis , é a matriz dos coeficientes e é o vetor das funções independentes (neste caso, apenas ).

Passo 7

A matriz A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 fica assim:
F = 0 0 cos t
E o vetor é:

Resposta

Resp l x1^prime=x2 x2^prime=x3 x3^prime=-x1+x2+cos t , A=[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 ] e F=[c 0 0 cos t ]

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