Uma partícula confinada numa caixa unidimensional de comprimento L. Uma das extremidades da caixa está em
e a outra em
. Obtenha as funções de onda normalizadas para um estado arbitrário.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula presa numa caixa unidimensional que vai de
até
. A gente precisa encontrar as funções de onda normalizadas para qualquer estado dessa partícula. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especialmente o modelo da “caixa quântica”. Vamos precisar usar a equação de Schrödinger e entender como normalizar funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de onda. Na mecânica quântica, a função de onda
descreve o comportamento da partícula. Para uma partícula numa caixa com paredes infinitamente altas, a função de onda deve ser zero nas paredes, ou seja, em
e
.
Passo 3
A equação de Schrödinger para esse sistema, que não depende do tempo, é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a energia, e
é a função de onda que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar:
onde
. Essa forma é conhecida como a equação de onda simples.
Passo 5
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições do problema.
Passo 6
Aplicamos as condições de contorno. Sabemos que
e
.
Primeiro, em
:
Então,
, e a função de onda fica:
Passo 7
Agora, aplicamos a segunda condição em
:
Para que isso seja verdade (com
), o seno precisa ser zero, ou seja:
Então,
Passo 8
Substituindo
na função de onda, temos:
Passo 9
Agora, precisamos normalizar a função de onda, ou seja, escolher
tal que:
Substituindo a função de onda:
Passo 10
Sabemos que:
Aplicando os limites de 0 a
:
Resposta
As funções de onda normalizadas para um estado arbitrário são:
onde
Exercícios relacionados
Mostre que valem as relações
e
conhecidas como equações de Eherenfest. Estas expressões mostram que os valores médios dos observáveis posição e momento na mecânica quântica recaem em equações análogas as da mecânica clássica, inclusive para a lei de força (segunda lei de Newton)!
Um bloco de massa
se move ao longo do eixo
sob a ação de uma única força, mostrada na figura. A velocidade do bloco em
é de 4,0
.
para que valor de o bloco terá uma energia cinética de 8,0 J?
para que valor de
Considere um sistema que é representado por uma função de onda do tipo:
onde
as autofunções da energia
são ortonormais. Mostre que a energia é conservada na média, ou seja
Uma partícula de massa
se desloca no sentido positivo de
. A energia potencial da partícula é nula para
e igual a Uo para
, onde é Uo constante e positiva. Mostre que se
onde
então o número de onda na região 2 é dado por
.