Uma partícula confinada numa caixa unidimensional de comprimento L. Uma das extremidades da caixa está em x=0 e a outra em x=L. Obtenha as funções de onda normalizadas para um estado arbitrário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula presa numa caixa unidimensional que vai de até . A gente precisa encontrar as funções de onda normalizadas para qualquer estado dessa partícula. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especialmente o modelo da “caixa quântica”. Vamos precisar usar a equação de Schrödinger e entender como normalizar funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de onda. Na mecânica quântica, a função de onda descreve o comportamento da partícula. Para uma partícula numa caixa com paredes infinitamente altas, a função de onda deve ser zero nas paredes, ou seja, em e .

Passo 3

A equação de Schrödinger para esse sistema, que não depende do tempo, é:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a energia, e é a função de onda que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0
onde . Essa forma é conhecida como a equação de onda simples.

Passo 5

A solução geral dessa equação é uma combinação de funções seno e cosseno:
psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições do problema.

Passo 6

Aplicamos as condições de contorno. Sabemos que 0 = A sin(0) + B cos(0) Rightarrow 0 = B e psi(x) = A sin(kx) .
Primeiro, em :
Então, , e a função de onda fica:

Passo 7

Agora, aplicamos a segunda condição em psi(L) = A sin(kL) = 0 :
kL = npi onde n = 1, 2, 3, ldots
Para que isso seja verdade (com k = npiL ), o seno precisa ser zero, ou seja:
Então,

Passo 8

Substituindo psin(x) = A sin(npi xL) na função de onda, temos:

Passo 9

Agora, precisamos normalizar a função de onda, ou seja, escolher integral0^L |psin(x)|^2 dx = 1 tal que:
A^2 integral0^L sin^2(npi xL) dx = 1
Substituindo a função de onda:

Passo 10

Sabemos que:
integral sin^2(ax) dx = x2 - sin(2ax)4a + C
Aplicando os limites de 0 a A^2 [ L2 - 0 ] = 1 Rightarrow A^2 L2 = 1 Rightarrow A = raiz2L :

Resposta

As funções de onda normalizadas para um estado arbitrário são:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)
onde

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