Considere o valor médio de um observável A, sendo dado por: . Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar como calcular a derivada no tempo do valor médio de um observável em mecânica quântica. A matéria envolvida aqui é sobre valores esperados (ou valores médios) e como eles mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como operadores e funções de onda evoluem no tempo, além de usar a equação de Schrödinger.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor médio de um observável . É dado por:
Aqui, é a função de onda do sistema e é o operador correspondente ao observável .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada no tempo desse valor médio, ou seja, . Vamos aplicar a derivada em relação ao tempo na expressão de :
Essa expressão vem da regra do produto para derivadas, aplicada às funções que dependem do tempo.
Passo 4
Vamos agora usar a equação de Schrödinger para substituir as derivadas temporais de e . A equação de Schrödinger é:
e sua conjugada complexa:
onde é o operador Hamiltoniano do sistema.
Passo 5
Substituindo essas expressões na derivada de :
Passo 6
Vamos reorganizar os termos:
onde é o comutador entre os operadores e .
Passo 7
Reconhecendo que as integrais representam os valores médios, podemos escrever: