Considere o valor médio de um observável A, sendo dado por: lang<= Arang<= equiv integral tripla psi^c(r, t) A psi(r, t) d x d y d z. Mostre que dlang<= Arang<=d t=lang<=partial Apartial trang<=+ihbarlang<=[H, A]rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar como calcular a derivada no tempo do valor médio de um observável em mecânica quântica. A matéria envolvida aqui é sobre valores esperados (ou valores médios) e como eles mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como operadores e funções de onda evoluem no tempo, além de usar a equação de Schrödinger.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor médio de um observável lang<= A rang<= = integral tripla psi^*(r, t) A psi(r, t) , dx , dy , dz . É dado por:
Aqui, é a função de onda do sistema e é o operador correspondente ao observável .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada no tempo desse valor médio, ou seja, dlang<= A rang<=dt = integral tripla ( partial psi^*partial t A psi + psi^* partial Apartial t psi + psi^* A partial psipartial t ) dx , dy , dz . Vamos aplicar a derivada em relação ao tempo na expressão de :
Essa expressão vem da regra do produto para derivadas, aplicada às funções que dependem do tempo.

Passo 4

Vamos agora usar a equação de Schrödinger para substituir as derivadas temporais de ihbar partial psipartial t = H psi e -ihbar partial psi^*partial t = psi^* H . A equação de Schrödinger é:
e sua conjugada complexa:
onde é o operador Hamiltoniano do sistema.

Passo 5

Substituindo essas expressões na derivada de dlang<= A rang<=dt = integral tripla ( -ihbar psi^* H A psi + psi^* partial Apartial t psi + ihbar psi^* A H psi ) dx , dy , dz :

Passo 6

Vamos reorganizar os termos:
dlang<= A rang<=dt = integral tripla psi^* partial Apartial t psi , dx , dy , dz + ihbar integral tripla psi^* [A, H] psi , dx , dy , dz
onde é o comutador entre os operadores e .

Passo 7

Reconhecendo que as integrais representam os valores médios, podemos escrever:
dlang<= A rang<=dt = lang<= partial Apartial t rang<= + ihbar lang<= [H, A] rang<=

Resposta

dlang<= A rang<=dt = lang<= partial Apartial t rang<= + ihbar lang<= [H, A] rang<=

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