Considere o valor médio de um observável A, sendo dado por:
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar como calcular a derivada no tempo do valor médio de um observável
em mecânica quântica. A matéria envolvida aqui é sobre valores esperados (ou valores médios) e como eles mudam com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como operadores e funções de onda evoluem no tempo, além de usar a equação de Schrödinger.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor médio de um observável
. É dado por:
Aqui,
é a função de onda do sistema e
é o operador correspondente ao observável
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada no tempo desse valor médio, ou seja,
. Vamos aplicar a derivada em relação ao tempo na expressão de
:
Essa expressão vem da regra do produto para derivadas, aplicada às funções que dependem do tempo.
Passo 4
Vamos agora usar a equação de Schrödinger para substituir as derivadas temporais de
e
. A equação de Schrödinger é:
e sua conjugada complexa:
onde
é o operador Hamiltoniano do sistema.
Passo 5
Substituindo essas expressões na derivada de
:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos:
onde
é o comutador entre os operadores
e
.
Passo 7
Reconhecendo que as integrais representam os valores médios, podemos escrever: