Determine se o conjunto W é um subespaço de R^3 com as operações usuais. Justifique sua resposta. W=(s, t, s+t) mid s in R e t in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço de com as operações usuais. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar três coisas importantes: se o vetor zero está em , se é fechado sob adição de vetores e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Precisamos ver se conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam a condição . Se e , então . Portanto, está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Sejam e em . A soma é . Podemos reescrever isso como , onde e . Como e são reais, a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos conferir se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real , o resultado também deve estar em . Seja em . A multiplicação por escalar resulta em . Podemos reescrever isso como , onde e . Como e são reais, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de , pois contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

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