Determine se o conjunto
é um subespaço de
com as operações usuais. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
com as operações usuais. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar três coisas importantes: se o vetor zero está em
, se
é fechado sob adição de vetores e se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Precisamos ver se conseguimos encontrar valores de
e
que satisfaçam a condição
. Se
e
, então
. Portanto,
está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Sejam
e
em
. A soma
é
. Podemos reescrever isso como
, onde
e
. Como
e
são reais, a soma
está em
.
Passo 4
Por último, vamos conferir se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real
, o resultado também deve estar em
. Seja
em
. A multiplicação por escalar
resulta em
. Podemos reescrever isso como
, onde
e
. Como
e
são reais,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
, pois contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.