Considere um sistema de seção circular variável e convergente, no qual um fluido de peso específico (
x g) 216393 (lbm.ft)/(L.min²) escoa em seu interior. Determine, na saída do sistema, o diâmetro necessário para que a velocidade média nela seja
maior do que na entrada. Determine também a taxa mássica de fluido na saída do sistema (em 2). Considere o sistema isotérmico, fluido incompressível e regime permanente. Adote
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema com seção circular que muda de diâmetro e é convergente, ou seja, diminui de tamanho. Um fluido com uma certa “força” está escoando por esse sistema. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
- Diâmetro na saída (D₂): Queremos que a velocidade do fluido na saída seja 80% maior do que na entrada.
- Taxa mássica de fluido na saída (m₂): Quanto de fluido está passando por segundo na saída.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica de fluidos, especialmente a equação da continuidade e a equação de Bernoulli simplificada para situações de fluxo incompressível e regime permanente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, para um fluido incompressível em regime permanente, a equação da continuidade nos diz que a quantidade de fluido que entra pelo sistema é igual à que sai. Matemáticamente, isso fica:
Onde:
-
é a área da seção transversal. -
é a velocidade do fluido. - Os subscritos 1 e 2 referem-se à entrada e saída, respectivamente.
Passo 3
Queremos que a velocidade na saída (
) seja 80% maior que na entrada (
). Isso significa:
Agora, substituindo na equação da continuidade:
Podemos simplificar
:
Isso nos leva a:
Passo 4
A área de uma seção circular é dada por:
Onde
é o diâmetro. Então, podemos escrever:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, precisamos saber o diâmetro de entrada (
) para continuar. Se não for fornecido diretamente, podemos relacionar com a taxa mássica.
A taxa mássica (
) é dada por:
Onde:
-
é a densidade do fluido. -
é a área. -
é a velocidade.
Como o fluido é incompressível e o fluxo é constante:
Passo 6
Vamos usar a informação da “peso específico” do fluido, que é
. Primeiro, precisamos converter para unidades mais usuais, como kg/m³.
Sabendo que:
Então:
(Nota: Isso parece um valor extremamente alto para densidade; provavelmente há uma confusão nas unidades. Para fins de exercício, vamos seguir com esse valor.)
Passo 7
Agora, vamos relacionar as áreas e velocidades:
Sabemos que:
Então, o diâmetro na saída
está relacionado a
:
Passo 8
Sem o valor de
, vamos supor que a área na entrada permite a taxa mássica dada. Como o exercício pede o diâmetro na saída, podemos relacionar diretamente.
Considerando que:
Passo 9
Para encontrar a taxa mássica na saída (
):
Sabemos que
, mas sem
ou
, vamos usar a relação da taxa mássica:
Como
:
(Assumindo que a taxa mássica permanece a mesma devido à incompressibilidade.)