Considere um sistema termodinâmico que é governado pela seguinte equação fundamental na representação da entropia:
a-) Encontre as três equações de estado para este sistema e mostre que elas são homogêneas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está na área de Termodinâmica, especificamente lidando com a equação fundamental expressa em termos de entropia. A gente precisa encontrar as três equações de estado para esse sistema e mostrar que elas são homogêneas. Isso vai envolver derivadas parciais e conceitos de homogeneidade em funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação fundamental dada:
Aqui,
é a entropia,
é a constante dos gases,
é a energia interna,
é o volume, e
é a quantidade de substância.
Para encontrar as equações de estado, vamos usar as derivadas parciais da entropia em relação às suas variáveis naturais. As três equações de estado que vamos obter são:
- Temperatura (
) - Pressão (
) - Potencial Químico (
)
Passo 3
Vamos começar calculando a temperatura. Na termodinâmica, a temperatura é dada pela derivada parcial da energia interna em relação à entropia:
Então, vamos derivar
em relação a
, mantendo
e
constantes:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a pressão. A pressão é dada pela derivada parcial da energia interna em relação ao volume:
Derivando
em relação a
, mantendo
e
constantes:
Então,
Passo 5
Por último, vamos calcular o potencial químico. O potencial químico é dado pela derivada parcial da energia interna em relação à quantidade de substância:
Derivando
em relação a
, mantendo
e
constantes:
Portanto,
Passo 6
Agora que temos as três equações de estado:
- Temperatura:
- Pressão:
- Potencial Químico:
Vamos agora verificar a homogeneidade dessas equações. Uma função é homogênea de grau
se, ao multiplicar todas as suas variáveis por um fator
, a função é multiplicada por
.
Passo 7
Vamos analisar cada uma das equações:
-
Temperatura (
): - As variáveis
, e aparecem de forma que, se multiplicarmos por , por e por , a equação inteira será escalada de forma a preservar a igualdade. Portanto, a equação é homogênea de grau zero.
- As variáveis
-
Pressão (
): - Similarmente, ao multiplicar
, e por , a relação entre e as outras variáveis mantém-se proporcional, garantindo que a equação seja homogênea de grau zero.
- Similarmente, ao multiplicar
-
Potencial Químico (
): - Novamente, a homogeneidade se mantém ao escalar
, e , confirmando que a equação é homogênea de grau zero.
- Novamente, a homogeneidade se mantém ao escalar
Resposta
As três equações de estado para o sistema são:
- Temperatura:
- Pressão:
- Potencial Químico:
Além disso, todas essas equações são homogêneas de grau zero, ou seja, permanecem proporcionais quando todas as variáveis são escaladas pelo mesmo fator.