Considere um sistema termodinâmico que é governado pela seguinte equação fundamental na representação da entropia:
S=R U VN-R N^3U V
b-) Mostre a temperatura é positiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema termodinâmico descrito por uma equação que relaciona a entropia com a energia interna , o volume , e a quantidade de substância . O conteúdo aqui é de Termodinâmica, especificamente sobre como relacionar essas grandezas para encontrar a temperatura do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como a temperatura está ligada à entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que na Termodinâmica, a temperatura 1T = ( partial Spartial U )V,N está relacionada à entropia pela seguinte relação:
Isso significa que para encontrar a temperatura, precisamos calcular a derivada parcial da entropia em relação à energia interna , mantendo o volume e a quantidade de substância constantes.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de S = R U VN - R N^3U V em relação a . A equação dada é:
Ao derivarmos em relação a , trataremos e como constantes.

Passo 4

Calculando a derivada:
partial Spartial U = R VN + R N^3U^2 V
Aqui, a primeira parte vem da derivada de em relação a , que é . A segunda parte vem da derivada de em relação a , que resulta em (o sinal negativo é cancelado pela derivada de ).

Passo 5

Agora, de acordo com a relação entre temperatura e entropia:
1T = R VN + R N^3U^2 V
Para mostrar que é positiva, vamos analisar os termos dessa expressão.

Passo 6

Notamos que todas as constantes e variáveis envolvidas são positivas:
  • é a constante dos gases, sempre positiva.
  • é o volume, que é positivo.
  • é a quantidade de substância, positiva.
  • é a energia interna, que também é positiva.
Portanto, cada termo na soma é positivo, o que implica que é positivo.

Passo 7

Como , isso significa que a temperatura também é positiva.

Resposta

A temperatura do sistema é positiva.

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