Considere um sistema termodinâmico que é governado pela seguinte equação fundamental na representação da entropia:
b-) Mostre a temperatura é positiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema termodinâmico descrito por uma equação que relaciona a entropia
com a energia interna
, o volume
, e a quantidade de substância
. O conteúdo aqui é de Termodinâmica, especificamente sobre como relacionar essas grandezas para encontrar a temperatura do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como a temperatura está ligada à entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que na Termodinâmica, a temperatura
está relacionada à entropia pela seguinte relação:
Isso significa que para encontrar a temperatura, precisamos calcular a derivada parcial da entropia
em relação à energia interna
, mantendo o volume
e a quantidade de substância
constantes.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A equação dada é:
Ao derivarmos
em relação a
, trataremos
e
como constantes.
Passo 4
Calculando a derivada:
Aqui, a primeira parte vem da derivada de
em relação a
, que é
. A segunda parte vem da derivada de
em relação a
, que resulta em
(o sinal negativo é cancelado pela derivada de
).
Passo 5
Agora, de acordo com a relação entre temperatura e entropia:
Para mostrar que
é positiva, vamos analisar os termos dessa expressão.
Passo 6
Notamos que todas as constantes e variáveis envolvidas são positivas:
-
é a constante dos gases, sempre positiva. -
é o volume, que é positivo. -
é a quantidade de substância, positiva. -
é a energia interna, que também é positiva.
Portanto, cada termo na soma é positivo, o que implica que
é positivo.
Passo 7
Como
, isso significa que a temperatura
também é positiva.
Resposta
A temperatura do sistema é positiva.