Se você fizer um buraco em um recipiente cheio de gás, o gás começará a vazar. Neste problema você fará uma estimativa aproximada da taxa na qual o gás escapa por um buraco. (Este processo é chamado de efusão, pelo menos quando o buraco é suficientemente pequeno.)
b-) Não é fácil calcular
, mas uma aproximação boa o suficiente é
, onde a barra agora representa uma média de todas as moléculas do gás. Mostrar que
.
b-) Não é fácil calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre efusão, que é o processo pelo qual o gás escapa por um buraco pequeno. A gente precisa mostrar que a raiz quadrada da média da velocidade no eixo x, ou seja,
, é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos da teoria cinética dos gases, que relaciona a temperatura
, a massa das moléculas
e a constante de Boltzmann
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na teoria cinética dos gases, a energia média cinética das moléculas de um gás ideal é dada por:
Aqui,
é a média do quadrado da velocidade das moléculas,
é a massa de uma molécula,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura.
Passo 3
Agora, queremos relacionar isso com a velocidade no eixo x. Como o movimento é isotrótrico (igual em todas as direções), a média do quadrado da velocidade em cada direção é a mesma. Ou seja:
Passo 4
Substituindo a expressão da energia média cinética na equação acima:
Isso veio dividindo ambos os lados da primeira equação por 3.
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, queremos a raiz quadrada da média da velocidade no eixo x. Então, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Portanto, mostramos que: