2,5 Considere o sistema e os vetores coluna
X' = (4 1; 6 5) X ; X1 = (1; -2) e^(2t), X2 = (1; 3) e^(7t)
(a) Verifique que os vetores coluna indicados, formam um conjunto fundamental de soluções em R, para o sistema dado.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com sistemas de equações diferenciais lineares. O enunciado nos dá um sistema específico e dois vetores coluna que supostamente são soluções desse sistema. Nosso objetivo aqui é verificar se esses vetores formam um conjunto fundamental de soluções para o sistema dado. Para isso, vamos precisar entender conceitos como solução de sistemas diferenciais e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que os vetores dados realmente são soluções do sistema. Temos o sistema:
E as soluções propostas:
Para verificar se é uma solução, calculamos :
Agora, multiplicamos a matriz do sistema por :
Como é igual a , é uma solução do sistema.
Fazemos o mesmo para :
E multiplicamos a matriz pelo :
Como é igual a , também é uma solução do sistema.

Passo 3

Agora que sabemos que ambos os vetores são soluções do sistema, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso garante que formam um conjunto fundamental de soluções, ou seja, que podemos construir todas as soluções possíveis do sistema a partir deles.
Para verificar a independência linear, montamos a matriz cujas colunas são e :
Calculamos o determinante dessa matriz:
Como o determinante é diferente de zero ( ), os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores coluna e são soluções do sistema e são linearmente independentes. Portanto, eles formam um conjunto fundamental de soluções para o sistema dado.

Exercícios relacionados

2,5 Determine a solução do problema de valor inicial
X' = [[2, 4], [-1, 6]] X ; X(0) = (2, 3)
(3,0) Determine a solução geral do sistema
X' = ( -2 2 0 ; 0 0 1 ; 0 -4 0 ) X
  • Dada a função f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1)
    a) Determine o domínio.
  • Dada a função f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1)
    c) Determine as assíntotas horizontais, se existirem.