Opa! Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos. A gente tem um sistema de equações diferenciais representado por:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais, onde precisamos encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para resolver, vamos precisar usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores () são encontrados resolvendo o determinante :
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor duplo.
Passo 3
Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos resolver :
Isso nos dá as equações:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher , então . Assim, um autovetor é:
Passo 4
Como o autovalor é repetido e temos apenas um autovetor, precisamos encontrar um vetor generalizado tal que .
Resolvendo :
Isso dá:
Resolvendo a segunda equação:
Escolhendo , então . Portanto, o vetor generalizado é:
Passo 5
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema utilizando os autovalores e os vetores encontrados: