Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe quer que a gente encontre a solução geral de um sistema de equações diferenciais representado por , onde é uma matriz 3x3 específica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). Esses conceitos são fundamentais para resolver sistemas lineares de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios da matriz . Isso significa que vamos encontrar os números que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de 3x3 e representa o determinante.
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Igualando a zero:
Então, os valores próprios são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Simplificando, podemos escolher , , e . Assim, um vetor próprio é .
Para e :
Como os valores próprios são complexos, os vetores próprios também serão complexos. Tomando , resolvemos :
A partir daqui, podemos encontrar que um vetor próprio é . O vetor para será o conjugado desse, ou seja, .
Passo 5
Com os valores e vetores próprios, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada par valor e vetor próprio. Para os valores reais, a solução é , e para os complexos, usamos a forma trigonométrica.