(3,0) Determine a solução geral do sistema
X' = ( -2 2 0 ; 0 0 1 ; 0 -4 0 ) X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe quer que a gente encontre a solução geral de um sistema de equações diferenciais representado por , onde é uma matriz 3x3 específica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). Esses conceitos são fundamentais para resolver sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios da matriz . Isso significa que vamos encontrar os números que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de 3x3 e representa o determinante.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Igualando a zero:
Então, os valores próprios são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Simplificando, podemos escolher , , e . Assim, um vetor próprio é .
Para e :
Como os valores próprios são complexos, os vetores próprios também serão complexos. Tomando , resolvemos :
A partir daqui, podemos encontrar que um vetor próprio é . O vetor para será o conjugado desse, ou seja, .

Passo 5

Com os valores e vetores próprios, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada par valor e vetor próprio. Para os valores reais, a solução é , e para os complexos, usamos a forma trigonométrica.
Assim, a solução geral é:
Simplificando, temos:

Resposta

A solução geral do sistema é
onde , e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

1,0 Se X = Phi(t) C é a solução geral de X' = A X, mostre que a solução do problema de valor inicial X' = A X, X(t0) = X0, é X = Phi(t) * Phi^-1(t0) * X0.
(1, 0) Escreva em forma matricial o sistema dado.
(b) { dx/dt = -3x + 4y + e^(-t) sen(2t) ; dy/dt = 5x + 9y + 4e^(-t) cos(2t) }
2,5 Determine a solução do problema de valor inicial
X' = [[2, 4], [-1, 6]] X ; X(0) = (2, 3)
2,5 Considere o sistema e os vetores coluna
X' = (4 1; 6 5) X ; X1 = (1; -2) e^(2t), X2 = (1; 3) e^(7t)
(a) Verifique que os vetores coluna indicados, formam um conjunto fundamental de soluções em R, para o sistema dado.