Considere um sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a parte estacionária da solução deste problema.
b) Determine a amplitude da parte estacionária da solução, em função de .
c) Faça o gráfico de em função de .
d) Determine o valor máximo de e a frequência na qual ele ocorre.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve um sistema vibratório. A equação é:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termos forçados, especificamente voltadas para sistemas vibratórios.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre soluções homogêneas e particulares de equações diferenciais, métodos de solução para equações com termos oscilatórios (como o método da coeficiente indeterminado), e conceitos de amplitude em movimentos harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a solução geral dessa equação. A solução total é a soma da solução da equação homogênea () e da solução particular ():
Equação homogênea associada:
Vamos resolver essa equação homogênea primeiro.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante ():
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas conjugadas:
Passo 4
Com raízes complexas da forma , a solução da equação homogênea é:
Substituindo e :
Observação: A solução homogênea representa a resposta natural do sistema, que tende a zero devido ao termo exponencial decrescente.
Passo 5
Agora vamos encontrar a solução particular para a parte forçada da equação:
Como o termo forçado é , assumimos uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes a serem determinados.
Passo 6
Derivamos para substituir na equação original:
Substituindo , e na equação diferencial:
Passo 7
Agrupamos os termos de e :
Para :
Para :
Igualamos aos termos do lado direito da equação:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 8
Resolvemos o sistema para encontrar e .
Da segunda equação:
Podemos isolar uma variável. Vamos isolar :
Agora substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Fatorando :
Simplificando os termos:
Continuando a simplificação:
Agrupando os termos:
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar o denominador:
Mas percebemos que isso está ficando muito complicado. Vamos buscar uma alternativa mais simples.
Passo 9
Vamos usar a representação de números complexos para encontrar a solução particular. Assume-se uma solução no domínio complexo:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando as partes reais:
Resolvendo para :
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
A parte real de será o coeficiente da solução particular.
Passo 10
A solução particular é então:
Simplificando:
Passo 11
A parte estacionária da solução é a solução particular , pois a solução homogênea tende a zero à medida que aumenta devido ao termo exponencial decrescente.
Resposta para a parte a):
Passo 12
Parte b): Vamos determinar a amplitude da parte estacionária da solução em função de .
A amplitude é dada pela magnitude do coeficiente combinado de e . Usando a fórmula da amplitude:
Simplificando:
Podemos fatorar o denominador:
Passo 13
Para simplificar ainda mais, multiplicamos numerador e denominador por 16:
Finalizando:
Passo 14
Resposta final para a parte b):
A amplitude da parte estacionária da solução em função de é:
Passo 15
Parte c): Para fazer o gráfico de em função de , precisaríamos plotar a função determinada na parte b). Isso geralmente é feito usando softwares como o MATLAB, Python (com matplotlib), ou até mesmo calculadoras gráficas avançadas. Como não posso desenhar aqui, vou descrever como o gráfico se comporta:
A amplitude varia com apresentando um pico máximo em uma determinada frequência.
Para muito pequeno ou muito grande, tende a zero.
Entre esses extremos, há uma frequência onde a amplitude atinge seu valor máximo, caracterizando a ressonância do sistema.
Passo 16
Parte d): Vamos determinar o valor máximo de e a frequência na qual ele ocorre.
O valor máximo da amplitude ocorre quando a derivada de em relação a é zero. Porém, devido à complexidade da expressão de , uma abordagem mais prática é identificar a frequência de ressonância do sistema.
A frequência de ressonância para sistemas com amortecimento é dada por:
Onde:
é a frequência natural do sistema (sem amortecimento).
é o coeficiente de amortecimento.
No nosso caso:
A equação original é , então:
Então:
Calculando numericamente:
Agora, substituímos na expressão de para encontrar o valor máximo:
á
Após substituição e cálculo, obteremos o valor máximo da amplitude.
Resposta final para a parte d):
O valor máximo da amplitude á ocorre na frequência de ressonância:
E o valor máximo da amplitude pode ser calculado substituindo na expressão de .