Encontre os valores de para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria pra resolver:
O que a gente precisa descobrir aqui é para quais valores de essa integral converge, ou seja, dá um resultado finito. Além disso, pra esses valores de , a gente também vai calcular o valor da própria integral. Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e comportamento de funções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que está dentro da integral:
Aqui, está no denominador junto com . Como o limite superior é , a gente precisa ver como essa função se comporta quando fica muito grande.

Passo 3

Para analisar a convergência da integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos chamar:
Então, a derivada de em relação a é:
Mas como , temos , então:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples:

Passo 5

Agora, vamos analisar essa nova integral:
Sabemos que essa integral converge se e somente se . Isso vem do teste p para integrais improprias, que diz que:
  • Se , a integral converge.
  • Se , a integral diverge.

Passo 6

Então, já temos que a integral original converge quando . Agora, vamos calcular o valor da integral para esses valores de .
A integral que precisamos calcular é:
A antiderivada de é:

Passo 7

Vamos aplicar os limites de integração:
Agora, avaliamos nos limites:
  • Quando :
    • Se , então , então .
  • Quando :
    • .
Então:

Resposta

A integral converge para todos os valores de maiores que 1, e seu valor é:

Exercícios relacionados

Considere um sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a parte estacionária da solução deste problema.
b) Determine a amplitude da parte estacionária da solução, em função de .
c) Faça o gráfico de em função de .
d) Determine o valor máximo de e a frequência na qual ele ocorre.
A posição do objeto em um determinado sistema-massa mola satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
a) Determine a solução deste problema de valor inicial.
b) No mesmo sistema de coordenadas, com no eixo horizontal, faça os gráficos de e de .
c) Faça um gráfico paramétrico de e , sendo o parâmetro, isto é, para cada instante de tempo , coloque no eixo horizontal o valor de e no eixo vertical o valor de correspondente. Este tipo de gráfico é denominado
Dado o triângulo retângulo em calcule: