Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de p.
integrale^infty d xx[ln (x)]^p

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria pra resolver:
integrale^infty dxx[ln(x)]^p
O que a gente precisa descobrir aqui é para quais valores de essa integral converge, ou seja, dá um resultado finito. Além disso, pra esses valores de , a gente também vai calcular o valor da própria integral. Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e comportamento de funções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que está dentro da integral:
1x[ln(x)]^p
Aqui, está no denominador junto com . Como o limite superior é , a gente precisa ver como essa função se comporta quando fica muito grande.

Passo 3

Para analisar a convergência da integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos chamar:
t = ln(x)
Então, a derivada de dt = 1x dx Rightarrow dx = x,dt em relação a dx = e^t dt é:
Mas como , temos , então:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integralx=e^x=infty dxx[ln(x)]^p = integralt=1^t=infty e^t dte^t t^p = integral1^infty dtt^p
Agora, a integral ficou mais simples:
integral1^infty dtt^p

Passo 5

Agora, vamos analisar essa nova integral:
integral1^infty dtt^p
Sabemos que essa integral converge se e somente se . Isso vem do teste p para integrais improprias, que diz que:
  • Se , a integral converge.
  • Se , a integral diverge.

Passo 6

Então, já temos que a integral original converge quando integral1^infty dtt^p. Agora, vamos calcular o valor da integral para esses valores de integral dtt^p = t^1 - p1 - p + C.
A integral que precisamos calcular é:
A antiderivada de é:

Passo 7

Vamos aplicar os limites de integração:
integral1^infty dtt^p = [ t^1 - p1 - p ]1^infty
Agora, avaliamos nos limites:
  • Quando integral1^infty dtt^p = ( 0 - 11 - p ) = 1p - 1:
    • Se , então , então .
  • Quando :
    • .
Então:

Resposta

A integral converge para todos os valores de integrale^infty dxx[ln(x)]^p = 1p - 1 quando p > 1 maiores que 1, e seu valor é:

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