Encontre os valores de
para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria pra resolver:
O que a gente precisa descobrir aqui é para quais valores de
essa integral converge, ou seja, dá um resultado finito. Além disso, pra esses valores de
, a gente também vai calcular o valor da própria integral. Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e comportamento de funções no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que está dentro da integral:
Aqui,
está no denominador junto com
. Como o limite superior é
, a gente precisa ver como essa função se comporta quando
fica muito grande.
Passo 3
Para analisar a convergência da integral, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos chamar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas como
, temos
, então:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples:
Passo 5
Agora, vamos analisar essa nova integral:
Sabemos que essa integral converge se e somente se
. Isso vem do teste p para integrais improprias, que diz que:
- Se
, a integral converge. - Se
, a integral diverge.
Passo 6
Então, já temos que a integral original converge quando
. Agora, vamos calcular o valor da integral para esses valores de
.
A integral que precisamos calcular é:
A antiderivada de
é:
Passo 7
Vamos aplicar os limites de integração:
Agora, avaliamos nos limites:
- Quando
: - Se
, então , então .
- Se
- Quando
: -
.
-
Então:
Resposta
A integral converge para todos os valores de
maiores que 1, e seu valor é:
Exercícios relacionados
Considere um sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a parte estacionária da solução deste problema.
b) Determine a amplitude da parte estacionária da solução, em função de
.
c) Faça o gráfico de em função de
.
d) Determine o valor máximo de e a frequência
na qual ele ocorre.
b) Determine a amplitude
c) Faça o gráfico de
d) Determine o valor máximo de
A posição do objeto em um determinado sistema-massa mola satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
a) Determine a solução deste problema de valor inicial.
b) No mesmo sistema de coordenadas, com no eixo horizontal, faça os gráficos de
e de
.
c) Faça um gráfico paramétrico de e
, sendo
o parâmetro, isto é, para cada instante de tempo
, coloque no eixo horizontal o valor de
e no eixo vertical o valor de
correspondente. Este tipo de gráfico é denominado
b) No mesmo sistema de coordenadas, com
c) Faça um gráfico paramétrico de
Dado o triângulo
retângulo em
calcule: