A posição do objeto em um determinado sistema-massa mola satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
a) Determine a solução deste problema de valor inicial.
b) No mesmo sistema de coordenadas, com
no eixo horizontal, faça os gráficos de
e de
.
c) Faça um gráfico paramétrico de
e
, sendo
o parâmetro, isto é, para cada instante de tempo
, coloque no eixo horizontal o valor de
e no eixo vertical o valor de
correspondente. Este tipo de gráfico é denominado
b) No mesmo sistema de coordenadas, com
c) Faça um gráfico paramétrico de
Passo 1
Vamos resolver um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial para a posição de um objeto em um sistema massa-mola. O conteúdo está relacionado a equações diferenciais ordinárias e sistemas harmônicos. Para isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar condições iniciais.
Passo 2
Parte a: Determinar a solução do problema de valor inicial
Primeiro, temos a equação diferencial:
com as condições iniciais:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada:
Resolvendo, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Aplicando
:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Como
:
Aplicando
:
Portanto, a solução específica é:
Passo 3
Parte b: Fazer os gráficos de
e
no sistema de coordenadas com
no eixo horizontal
Já encontramos:
e:
Para plotar esses gráficos, vamos considerar diferentes valores de
e calcular os correspondentes valores de
e
. O gráfico de
será uma função seno com amplitude
e o gráfico de
será uma função cosseno com amplitude 2.
Passo 4
Parte c: Fazer um gráfico paramétrico de
e
, com
como parâmetro
Aqui, plotamos
no eixo horizontal e
no eixo vertical para cada instante de tempo
. Substituindo as expressões encontradas:
Podemos reescrever como:
Isso representa uma elipse no gráfico paramétrico. Esse tipo de gráfico é chamado de diagrama de fase.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Considere o sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a solução
deste problema, para
.
b) Faça o gráfico da solução , em função de
, para
,
. Compare os resultados com os do problema anterior, ou seja, descreva o efeito das condições iniciais não nulas.
b) Faça o gráfico da solução
Considere um sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a parte estacionária da solução deste problema.
b) Determine a amplitude da parte estacionária da solução, em função de
.
c) Faça o gráfico de em função de
.
d) Determine o valor máximo de e a frequência
na qual ele ocorre.
b) Determine a amplitude
c) Faça o gráfico de
d) Determine o valor máximo de
Encontre os valores de
para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de
.