A posição do objeto em um determinado sistema-massa mola satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
x'' + 2x = 0, x(0) = 0, x'(0) = 2
a) Determine a solução deste problema de valor inicial.
b) No mesmo sistema de coordenadas, com t no eixo horizontal, faça os gráficos de x(t) e de x'(t).
c) Faça um gráfico paramétrico de x(t) e x'(t), sendo t o parâmetro, isto é, para cada instante de tempo t, coloque no eixo horizontal o valor de x e no eixo vertical o valor de x' correspondente. Este tipo de gráfico é denominado

Passo 1

Vamos resolver um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial para a posição de um objeto em um sistema massa-mola. O conteúdo está relacionado a equações diferenciais ordinárias e sistemas harmônicos. Para isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar condições iniciais.

Passo 2

Parte a: Determinar a solução do problema de valor inicial
Primeiro, temos a equação diferencial:
com as condições iniciais:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada:
Resolvendo, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação é:
onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Aplicando :
Agora, derivamos para encontrar :
Como :
Aplicando :
Portanto, a solução específica é:

Passo 3

Parte b: Fazer os gráficos de e no sistema de coordenadas com no eixo horizontal
Já encontramos:
e:
Para plotar esses gráficos, vamos considerar diferentes valores de e calcular os correspondentes valores de e . O gráfico de será uma função seno com amplitude e o gráfico de será uma função cosseno com amplitude 2.

Passo 4

Parte c: Fazer um gráfico paramétrico de e , com como parâmetro
Aqui, plotamos no eixo horizontal e no eixo vertical para cada instante de tempo . Substituindo as expressões encontradas:
Podemos reescrever como:
Isso representa uma elipse no gráfico paramétrico. Esse tipo de gráfico é chamado de diagrama de fase.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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