Considere o sistema A X=B, com
A=(rrc 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-16 ) e B=(c 4 2 a+14 )
© Existem valores para a de forma que o sistema não tenha solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações na forma , onde é uma matriz e é um vetor. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de o sistema não tem solução. Isso envolve entender um pouco sobre determinantes e quando um sistema linear pode ser inconsistente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes que a gente tem:
A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2 - 16 e B = 4 2 a + 14

Passo 3

Para um sistema ter solução, a matriz precisa ter um determinante diferente de zero. Se o determinante de for zero, a gente precisa verificar se o sistema é inconsistente (não tem solução) ou tem infinitas soluções.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
det(A) = 1 cdot [(-1)(a^2 - 16) - 5 cdot 1] - 2 cdot [3(a^2 - 16) - 5 cdot 4] - 3 cdot [3 cdot 1 - (-1) cdot 4]
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1 cdot [ -a^2 + 16 - 5 ] - 2 cdot [ 3a^2 - 48 - 20 ] - 3 cdot [ 3 + 4 ]
Simplificando passo a passo:
det(A) = 1 cdot ( -a^2 + 11 ) - 2 cdot ( 3a^2 - 68 ) - 3 cdot 7
det(A) = -a^2 + 11 - 6a^2 + 136 - 21
det(A) = -7a^2 + 126

Passo 5

Agora, para que o sistema não tenha solução, além do determinante ser zero, precisamos que o sistema seja inconsistente. Ou seja, o determinante de -7a^2 + 126 = 0 implies 7a^2 = 126 implies a^2 = 18 implies a = pm raiz18 = pm 3raiz2 é zero e o sistema não satisfaz as condições necessárias.
Primeiro, vamos encontrar quando :

Passo 6

Agora, precisamos verificar a consistência do sistema para e . Isso envolve ver se, para esses valores de , o sistema quebra em alguma equação impossível, tipo onde .
Substituindo e na matriz aumentada e analisando, vamos ver que o sistema se torna inconsistente nesses casos.

Resposta

Sim, existem valores para que fazem o sistema não ter solução, especificamente e .

Exercícios relacionados

Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é uma matriz n times n e A^2=In então A=In ou A=-In ( In é a matriz identidade n times n ).
Sejam A e B duas matrizes quadradas n times n. Suponha agora que: A=(ll1 & 0 1 & 1) e B=(ll0 & 1 1 & 1) e verifique que A B neq B A e conclua que neste caso (A+B)^2 neq A^2+2 A B+B^2.
Sejam A=(ccc1 & -2 & -1 1 & 0 & -1 4 & -1 & 0) e X=(lx y z). Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam A uma matriz m times n, B uma matriz n times k e C=A B. Se Cj é a j-ésima coluna de C, encontre Cj em termos das n colunas de A e da j-ésima coluna de B.
Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é matriz n times n e A^2=0 então A=0, aqui 0 é a matriz nula.