Sejam A e B duas matrizes quadradas n times n. Suponha agora que: A=(ll1 & 0 1 & 1) e B=(ll0 & 1 1 & 1) e verifique que A B neq B A e conclua que neste caso (A+B)^2 neq A^2+2 A B+B^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas A = 1 & 0 1 & 1 , B = 0 & 1 1 & 1 e de ordem :
O objetivo é verificar que e, a partir disso, concluir que . Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e como calcular a potência de uma matriz.

Passo 2

Vamos calcular o produto AB = 1 & 0 1 & 1 0 & 1 1 & 1 = 1 cdot 0 + 0 cdot 1 & 1 cdot 1 + 0 cdot 1 1 cdot 0 + 1 cdot 1 & 1 cdot 1 + 1 cdot 1 = 0 & 1 1 & 2 . Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto BA = 0 & 1 1 & 1 1 & 0 1 & 1 = 0 cdot 1 + 1 cdot 1 & 0 cdot 0 + 1 cdot 1 1 cdot 1 + 1 cdot 1 & 1 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1 & 1 2 & 1 :

Passo 4

Comparando AB = 0 & 1 1 & 2 neq 1 & 1 2 & 1 = BA e :
Portanto, , ou seja, as matrizes e não comutam.

Passo 5

Sabemos que, em álgebra matricial, se , então . Mas aqui vimos que , o que sugere que essa igualdade não vai valer.
Vamos calcular e para verificar isso.

Passo 6

Primeiro, calculamos A + B = 1 & 0 1 & 1 + 0 & 1 1 & 1 = 1+0 & 0+1 1+1 & 1+1 = 1 & 1 2 & 2 :
(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = 1 & 1 2 & 2 1 & 1 2 & 2 = 1 cdot 1 + 1 cdot 2 & 1 cdot 1 + 1 cdot 2 2 cdot 1 + 2 cdot 2 & 2 cdot 1 + 2 cdot 2 = 3 & 3 6 & 6
Agora, elevamos ao quadrado:

Passo 7

Agora, vamos calcular A^2 = A cdot A = 1 & 0 1 & 1 1 & 0 1 & 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot 1 & 1 cdot 0 + 0 cdot 1 1 cdot 1 + 1 cdot 1 & 1 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1 & 0 2 & 1 . Primeiro, precisamos de B^2 = B cdot B = 0 & 1 1 & 1 0 & 1 1 & 1 = 0 cdot 0 + 1 cdot 1 & 0 cdot 1 + 1 cdot 1 1 cdot 0 + 1 cdot 1 & 1 cdot 1 + 1 cdot 1 = 1 & 1 1 & 2 e A^2 + 2AB + B^2 = 1 & 0 2 & 1 + 2 cdot 0 & 1 1 & 2 + 1 & 1 1 & 2 = 1 & 0 2 & 1 + 0 & 2 2 & 4 + 1 & 1 1 & 2 .
Calculando = 1+0+1 & 0+2+1 2+2+1 & 1+4+2 = 2 & 3 5 & 7 :
Calculando :
Agora, somamos :

Passo 8

Agora comparamos os resultados:
(A + B)^2 = 3 & 3 6 & 6 e A^2 + 2AB + B^2 = 2 & 3 5 & 7
Claramente, .

Resposta

Concluímos que, como , temos que .

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