Sejam e duas matrizes quadradas . Suponha agora que: e e verifique que e conclua que neste caso .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem :
O objetivo é verificar que e, a partir disso, concluir que . Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e como calcular a potência de uma matriz.
Passo 2
Vamos calcular o produto . Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto :
Passo 4
Comparando e :
Portanto, , ou seja, as matrizes e não comutam.
Passo 5
Sabemos que, em álgebra matricial, se , então . Mas aqui vimos que , o que sugere que essa igualdade não vai valer.
Vamos calcular e para verificar isso.
Passo 6
Primeiro, calculamos :
Agora, elevamos ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos calcular . Primeiro, precisamos de e .