Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A é uma matriz n times n e A^2=In então A=In ou A=-In ( In é a matriz identidade n times n ).

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se é uma matriz e , então ou ."
Aqui, estamos lidando com matrizes quadradas e operações de multiplicação matricial. Precisamos verificar se, ao elevar uma matriz ao quadrado e obter a matriz identidade, a única possibilidade é que a matriz original seja a identidade ou a negativa da identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa In^2 = In times In = In . Isso implica que quando multiplicamos a matriz (-In)^2 = (-In) times (-In) = In por ela mesma, obtemos a matriz identidade A = 1 & 0 0 & -1 . Matrizes que satisfazem A^2 = 1 & 0 0 & -1 times 1 & 0 0 & -1 = 1 & 0 0 & 1 = I2 são chamadas de involutivas.
Agora, vamos considerar exemplos para verificar se a única solução é ou :
Exemplo 1:
Considere a matriz identidade:
Aqui, satisfaz a condição.
Exemplo 2:
Considere a matriz negativa da identidade:
Aqui, também satisfaz a condição.
Exemplo 3:
Agora, vamos considerar uma matriz que não é nem a identidade nem a negativa da identidade:
Calculando :
Aqui, mas e .

Resposta

Falso. Nem toda matriz 1 & 0 0 & -1 que satisfaz é necessariamente igual a ou . Existem matrizes involutivas que possuem elementos diferentes na diagonal, como o exemplo mostrado, onde , que não é igual nem a nem a , mas ainda assim satisfaz .

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