Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se é uma matriz e então ou ( é a matriz identidade ).
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se é uma matriz e , então ou ."
Aqui, estamos lidando com matrizes quadradas e operações de multiplicação matricial. Precisamos verificar se, ao elevar uma matriz ao quadrado e obter a matriz identidade, a única possibilidade é que a matriz original seja a identidade ou a negativa da identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso implica que quando multiplicamos a matriz por ela mesma, obtemos a matriz identidade . Matrizes que satisfazem são chamadas de involutivas.
Agora, vamos considerar exemplos para verificar se a única solução é ou :
Exemplo 1:
Considere a matriz identidade:
Aqui, satisfaz a condição.
Exemplo 2:
Considere a matriz negativa da identidade:
Aqui, também satisfaz a condição.
Exemplo 3:
Agora, vamos considerar uma matriz que não é nem a identidade nem a negativa da identidade:
Calculando :
Aqui, mas e .
Resposta
Falso. Nem toda matriz que satisfaz é necessariamente igual a ou . Existem matrizes involutivas que possuem elementos diferentes na diagonal, como o exemplo mostrado, onde , que não é igual nem a nem a , mas ainda assim satisfaz .