Considere o sistema.
x' = (0 1 1; 1 0 1; 1 1 0) x
(b) Resolva o PVI formado pelo sistema e x(0) = (0, 0, 1).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais representado por uma matriz e um vetor inicial. Nosso objetivo é resolver o Problema de Valor Inicial (PVI), ou seja, encontrar a solução do sistema que satisfaz a condição inicial dada, que é . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como encontrar os valores e vetores próprios da matriz do sistema, e aplicar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz do sistema. Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica , onde A é a matriz do sistema e I é a matriz identidade. Esses valores nos ajudarão a construir a solução geral do sistema.

Passo 3

Vamos calcular a equação característica da matriz A:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Vamos resolver a equação cúbica . Podemos tentar encontrar uma raiz real, por tentativa e erro. Testando :
Portanto, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, as soluções são e . Assim, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

$$

$$
Resolvendo, encontramos que .
Para :
Resolvemos :

$$

$$
Essa equação nos dá a condição . Podemos escolher dois vetores linearmente independentes que satisfazem essa condição, por exemplo:

Passo 6

Com os autovalores e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema como uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos autovalores:
onde , e são constantes que serão determinadas pela condição inicial.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial na solução geral:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
  1. Da segunda equação, temos .
  2. Da terceira equação, .
  3. Substituindo na primeira equação:
  4. Logo, e .

Resposta

A solução do PVI é:

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