Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais representado por uma matriz e um vetor inicial. Nosso objetivo é resolver o Problema de Valor Inicial (PVI), ou seja, encontrar a solução do sistema que satisfaz a condição inicial dada, que é . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como encontrar os valores e vetores próprios da matriz do sistema, e aplicar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz do sistema. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz do sistema e é a matriz identidade. Esses valores nos ajudarão a construir a solução geral do sistema.
Passo 3
Vamos calcular a equação característica da matriz :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver a equação cúbica . Podemos tentar encontrar uma raiz real, por tentativa e erro. Testando :
Portanto, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, as soluções são e . Assim, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
$$
$$
Resolvendo, encontramos que .
Para :
Resolvemos :
$$
$$
Essa equação nos dá a condição . Podemos escolher dois vetores linearmente independentes que satisfazem essa condição, por exemplo:
Passo 6
Com os autovalores e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema como uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados pelas exponenciais dos autovalores:
onde , e são constantes que serão determinadas pela condição inicial.