Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em , explicando o que acontece quando .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais passo a passo! A pergunta pede para a gente encontrar a solução geral do sistema e também analisar o ponto de equilíbrio em . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora, vou explicar cada parte conforme a gente for avançando.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema que a gente tem:
Esse é um sistema linear de equações diferenciais com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver esse tipo de sistema, uma técnica comum é encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. A matriz do nosso sistema é:
Os autovalores () são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois autovalores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Da primeira equação:
Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
[
]
Da primeira equação:
Então, um autovetor é .
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Ela é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Simplificando:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 6
Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em . Olhando para os autovalores que encontramos ( e ), vemos que um é positivo e outro é negativo. Isso significa que o ponto de equilíbrio é um ponto de sela.
O que isso significa? Quando :
As soluções associadas a (com ) vão crescer exponencialmente.
As soluções associadas a (com ) vão decair para zero.
Portanto, dependendo dos valores de e , a solução pode tender para longe do ponto de equilíbrio ou se aproximar dele ao longo de direções específicas.
Resposta
A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em é um ponto de sela. Quando , as soluções associadas a crescem exponencialmente, fazendo com que o sistema se afaste do ponto de equilíbrio, enquanto as soluções associadas a se aproximam de zero.