Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -2x + 2y, dy/dt = 2x + y }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais passo a passo! A pergunta pede para a gente encontrar a solução geral do sistema e também analisar o ponto de equilíbrio em . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e autovalores. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora, vou explicar cada parte conforme a gente for avançando.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que a gente tem:
Esse é um sistema linear de equações diferenciais com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver esse tipo de sistema, uma técnica comum é encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. A matriz do nosso sistema é:
Os autovalores ( ) são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois autovalores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[


]
Da primeira equação:
Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Da primeira equação:
Então, um autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Ela é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Simplificando:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 6

Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em . Olhando para os autovalores que encontramos ( e ), vemos que um é positivo e outro é negativo. Isso significa que o ponto de equilíbrio é um ponto de sela.
O que isso significa? Quando :
  • As soluções associadas a (com ) vão crescer exponencialmente.
  • As soluções associadas a (com ) vão decair para zero.
Portanto, dependendo dos valores de e , a solução pode tender para longe do ponto de equilíbrio ou se aproximar dele ao longo de direções específicas.

Resposta

A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em é um ponto de sela. Quando , as soluções associadas a crescem exponencialmente, fazendo com que o sistema se afaste do ponto de equilíbrio, enquanto as soluções associadas a se aproximam de zero.

Exercícios relacionados

(i) (11^(3x+1))^2 / 11^4 = 11^(10x).
Utilizando o método de redução de ordem, determine a solução geral das EDOs abaixo:
(2-t) y''' + (2t-3) y'' - t y' + y = 0, t < 2, sabendo que y1(t) = e^t é solução;
(a) log_5 x = 3
Resolva o sistema { dx/dt = -y + 3t, dy/dt = 4x + 2t }
dadas as
condições iniciais x(0) = 1, y(0) = 2.