Resolva o sistema { dx/dt = -y + 3t, dy/dt = 4x + 2t }
dadas as
condições iniciais x(0) = 1, y(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o professor passou! O enunciado é:
com as condições iniciais e .
Vamos usar equações diferenciais lineares para resolver isso. Precisamos encontrar as funções e que satisfazem essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira equação:
Para resolver isso, precisamos de uma expressão para . Mas também está relacionado com na segunda equação. Então, vamos tentar eliminar para encontrar uma equação só em termos de .

Passo 3

Vamos derivar a primeira equação em relação ao tempo :
Agora, substituímos pela segunda equação do sistema:
Então, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:

Passo 4

Vamos resolver essa equação. Ela tem duas partes: a solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular para a equação completa.
Solução Homogênea:
A solução da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.
Solução Particular:
Como o lado direito é linear em , assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral para é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos encontrar .

Passo 6

Voltando à primeira equação original:
Vamos calcular usando nossa expressão para :
Substituindo na equação:
Então, temos:

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Para :
E para :

Passo 8

Substituindo e nas expressões de e :

Resposta

As soluções do sistema são:

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(a) log_5 x = 3
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -2x + 2y, dy/dt = 2x + y }
(b) 5^(x+1) = 9
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = x + 2y; dy/dt = 2x - 2y }