Resolva o sistema
dadas as
condições iniciais
.
dadas as
condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o professor passou! O enunciado é:
com as condições iniciais
e
.
Vamos usar equações diferenciais lineares para resolver isso. Precisamos encontrar as funções
e
que satisfazem essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira equação:
Para resolver isso, precisamos de uma expressão para
. Mas
também está relacionado com
na segunda equação. Então, vamos tentar eliminar
para encontrar uma equação só em termos de
.
Passo 3
Vamos derivar a primeira equação em relação ao tempo
:
Agora, substituímos
pela segunda equação do sistema:
Então, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Passo 4
Vamos resolver essa equação. Ela tem duas partes: a solução da equação homogênea (
) e uma solução particular para a equação completa.
Solução Homogênea:
A solução da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Solução Particular:
Como o lado direito é linear em
, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral para
é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, vamos encontrar
.
Passo 6
Voltando à primeira equação original:
Vamos calcular
usando nossa expressão para
:
Substituindo na equação:
Então, temos:
Passo 7
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Para
:
E para
:
Passo 8
Substituindo
e
nas expressões de
e
:
Resposta
As soluções do sistema são:
Exercícios relacionados
(a)
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
(b)
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.