Utilizando o método de redução de ordem, determine a solução geral das EDOs abaixo:
(2-t) y''' + (2t-3) y'' - t y' + y = 0, t < 2, sabendo que y1(t) = e^t é solução;

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
E já sabemos que é uma solução dessa equação. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, precisamos entender que vamos buscar soluções adicionais baseadas na que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a segunda solução tem a forma , onde v(t) é uma função que precisamos determinar. Essa é a base do método de redução de ordem: buscar uma solução que é a solução conhecida multiplicada por uma função desconhecida.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y2(t):

Passo 4

Substituímos y2 e suas derivadas na equação diferencial original:

Passo 5

Simplificamos a equação, dividindo todos os termos por e^t (já que ):

Passo 6

Distribuímos os termos:

Passo 7

Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 8

Simplificamos os coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para v:
Então, a equação fica:

Passo 9

Agora, observamos que a equação resultante é uma equação diferencial de terceira ordem para v(t). Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir .
Então, temos:
Substituindo na equação:

Passo 10

Percebo que essa abordagem está complicando a equação. Vamos tentar outra estratégia. Considerando que é solução, podemos reduzir a ordem da equação dividindo por e^t e procurando soluções da forma .
Vamos definir e calcular as derivadas:
Substituindo na EDO:
Simplificando:
Reduzindo:
Portanto, temos:

Passo 11

Agora, vamos observar que essa é uma equação homogênea e tentar uma solução onde u é uma constante. Supondo , temos .
Substituindo:
Para que isso seja válido para todos , a única solução é , que não nos dá uma nova solução. Portanto, precisamos buscar outra forma para u(t).

Passo 12

Vamos então assumir que u(t) é uma função polinomial. Vamos tentar , onde A e B são constantes a serem determinadas.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Expandindo:
Igualando coeficientes a zero:
Novamente, temos apenas a solução trivial . Isso indica que precisamos de uma abordagem diferente para encontrar u(t).

Passo 13

Vamos tentar uma solução onde u(t) envolve uma função logarítmica. Assumimos que:
Onde a é uma constante a ser determinada. Porém, essa abordagem pode ser complexa. Portanto, vamos considerar que a equação pode ter soluções polinomiais de ordem superior ou funções exponenciais multiplicadas por polinômios.
Devido à complexidade do método de redução de ordem para esta equação específica, pode ser mais eficiente utilizar métodos numéricos ou buscar soluções particulares dependendo das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

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