Utilizando o método de redução de ordem, determine a solução geral das EDOs abaixo:
, sabendo que
é solução;
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
E já sabemos que
é uma solução dessa equação. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, precisamos entender que vamos buscar soluções adicionais baseadas na que já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a segunda solução tem a forma
, onde
é uma função que precisamos determinar. Essa é a base do método de redução de ordem: buscar uma solução que é a solução conhecida multiplicada por uma função desconhecida.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial original:
Passo 5
Simplificamos a equação, dividindo todos os termos por
(já que
):
Passo 6
Distribuímos os termos:
Passo 7
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 8
Simplificamos os coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a equação fica:
Passo 9
Agora, observamos que a equação resultante é uma equação diferencial de terceira ordem para
. Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
.
Então, temos:
Substituindo na equação:
Passo 10
Percebo que essa abordagem está complicando a equação. Vamos tentar outra estratégia. Considerando que
é solução, podemos reduzir a ordem da equação dividindo por
e procurando soluções da forma
.
Vamos definir
e calcular as derivadas:
Substituindo na EDO:
Simplificando:
Reduzindo:
Portanto, temos:
Passo 11
Agora, vamos observar que essa é uma equação homogênea e tentar uma solução onde
é uma constante. Supondo
, temos
.
Substituindo:
Para que isso seja válido para todos
, a única solução é
, que não nos dá uma nova solução. Portanto, precisamos buscar outra forma para
.
Passo 12
Vamos então assumir que
é uma função polinomial. Vamos tentar
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Expandindo:
Igualando coeficientes a zero:
Novamente, temos apenas a solução trivial
. Isso indica que precisamos de uma abordagem diferente para encontrar
.
Passo 13
Vamos tentar uma solução onde
envolve uma função logarítmica. Assumimos que:
Onde
é uma constante a ser determinada. Porém, essa abordagem pode ser complexa. Portanto, vamos considerar que a equação pode ter soluções polinomiais de ordem superior ou funções exponenciais multiplicadas por polinômios.
Devido à complexidade do método de redução de ordem para esta equação específica, pode ser mais eficiente utilizar métodos numéricos ou buscar soluções particulares dependendo das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.