Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = x + 2y; dy/dt = 2x - 2y }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me deu. Temos o seguinte sistema:
Vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de primeira ordem e teoria de sistemas lineares para encontrar a solução geral e analisar o ponto de equilíbrio em .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma matricial. Isso facilita a aplicação de métodos de álgebra linear para encontrar a solução. Nosso sistema fica:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz . Isso envolve resolver o polinômio característico, que é dado por:
Onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Calculando o determinante:
Então, temos a equação quadrática:
Resolvendo essa equação:
Isso nos dá dois valores próprios:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então . Assim, o vetor próprio é:
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos . Então, o vetor próprio é:

Passo 5

Com os valores e vetores próprios encontrados, podemos montar a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados por exponenciais dos valores próprios:
Onde e são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema.

Passo 6

Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em . Primeiro, notamos que o ponto de equilíbrio ocorre quando e , o que, no nosso sistema, acontece em .
Para classificar esse ponto, observamos os valores próprios:
Como temos um valor próprio positivo e outro negativo, o ponto de equilíbrio é um ponto de sela.

Passo 7

Por fim, vamos entender o comportamento das soluções quando :
  • A parte da solução associada a cresce exponencialmente, já que conforme aumenta.
  • A parte associada a decresce exponencialmente, pois conforme aumenta.
Portanto, dependendo das constantes e , as soluções irão mover-se ao longo das direções dos vetores próprios. No geral, como existe uma direção que cresce e outra que decresce, as trajetórias se afastam do ponto de equilíbrio , caracterizando um ponto de sela.

Resposta

A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em é um ponto de sela, e conforme , as soluções se afastam do ponto de equilíbrio devido à presença de um valor próprio positivo.

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(b) 5^(x+1) = 9
Resolva o sistema { dx/dt = -y + 3t, dy/dt = 4x + 2t }
dadas as
condições iniciais x(0) = 1, y(0) = 2.
Usando o teste de D (g) sumn=1^infty 1n+5
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -2x + 5y, dy/dt = -x - 4y }