Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me deu. Temos o seguinte sistema:
Vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de primeira ordem e teoria de sistemas lineares para encontrar a solução geral e analisar o ponto de equilíbrio em
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema em forma matricial. Isso facilita a aplicação de métodos de álgebra linear para encontrar a solução. Nosso sistema fica:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz
. Isso envolve resolver o polinômio característico, que é dado por:
Onde
é a matriz identidade e
representa os valores próprios.
Calculando o determinante:
Então, temos a equação quadrática:
Resolvendo essa equação:
Isso nos dá dois valores próprios:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Podemos escolher
, então
. Assim, o vetor próprio é:
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Escolhendo
, temos
. Então, o vetor próprio é:
Passo 5
Com os valores e vetores próprios encontrados, podemos montar a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados por exponenciais dos valores próprios:
Onde
e
são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do problema.
Passo 6
Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em
. Primeiro, notamos que o ponto de equilíbrio ocorre quando
e
, o que, no nosso sistema, acontece em
.
Para classificar esse ponto, observamos os valores próprios:
Como temos um valor próprio positivo e outro negativo, o ponto de equilíbrio é um ponto de sela.
Passo 7
Por fim, vamos entender o comportamento das soluções quando
:
- A parte da solução associada a
cresce exponencialmente, já que conforme aumenta. - A parte associada a
decresce exponencialmente, pois conforme aumenta.
Portanto, dependendo das constantes
e
, as soluções irão mover-se ao longo das direções dos vetores próprios. No geral, como existe uma direção que cresce e outra que decresce, as trajetórias se afastam do ponto de equilíbrio
, caracterizando um ponto de sela.
Resposta
A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em
é um ponto de sela, e conforme
, as soluções se afastam do ponto de equilíbrio devido à presença de um valor próprio positivo.
Exercícios relacionados
(b)
Resolva o sistema
dadas as
condições iniciais .
dadas as
condições iniciais
Usando o teste de D (g)
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.