Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta um sistema de equações diferenciais e pede duas coisas: primeiro, encontrar a solução geral desse sistema; segundo, analisar o ponto de equilíbrio em
, classificando-o e explicando o que acontece com as soluções quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial. Temos:
Podemos representar isso como:
onde
e
.
Passo 3
Para encontrar a solução geral, precisamos determinar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
onde
é a matriz identidade e
são os autovalores.
Passo 4
Calculando a matriz
:
Agora, calculamos o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores
:
Aqui,
,
, e
. Portanto:
Então, os autovalores são
.
Passo 6
Com os autovalores complexos
, onde
e
, a solução geral do sistema pode ser escrita como:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
está relacionado à matriz
. Para simplificar, podemos escrever a solução em termos de senos e cossenos multiplicados por
.
Passo 7
Portanto, a solução geral fica:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em
. Sabemos que este ponto é estável se os autovalores possuem partes reais negativas, o que aqui é verdade (
). Além disso, como os autovalores têm parte imaginária (
), isso indica que o sistema apresenta oscilações ao redor do ponto de equilíbrio.
Passo 9
Como os autovalores são complexos com parte real negativa, o ponto
é um nó foco estável. Isso significa que, conforme
, as soluções do sistema vão oscilar e se aproximar cada vez mais do ponto de equilíbrio.
Resposta
A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em
é um nó foco estável. Conforme
, as soluções do sistema tendem para o ponto de equilíbrio, oscilando cada vez mais perto dele.
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.
(d)
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.