Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -2x + 5y, dy/dt = -x - 4y }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta um sistema de equações diferenciais e pede duas coisas: primeiro, encontrar a solução geral desse sistema; segundo, analisar o ponto de equilíbrio em , classificando-o e explicando o que acontece com as soluções quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial. Temos:
Podemos representar isso como:
onde e .

Passo 3

Para encontrar a solução geral, precisamos determinar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade e são os autovalores.

Passo 4

Calculando a matriz :
Agora, calculamos o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores :
Aqui, , , e . Portanto:
Então, os autovalores são .

Passo 6

Com os autovalores complexos , onde e , a solução geral do sistema pode ser escrita como:
Onde e são constantes arbitrárias, e está relacionado à matriz . Para simplificar, podemos escrever a solução em termos de senos e cossenos multiplicados por .

Passo 7

Portanto, a solução geral fica:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em . Sabemos que este ponto é estável se os autovalores possuem partes reais negativas, o que aqui é verdade ( ). Além disso, como os autovalores têm parte imaginária ( ), isso indica que o sistema apresenta oscilações ao redor do ponto de equilíbrio.

Passo 9

Como os autovalores são complexos com parte real negativa, o ponto é um nó foco estável. Isso significa que, conforme , as soluções do sistema vão oscilar e se aproximar cada vez mais do ponto de equilíbrio.

Resposta

A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em é um nó foco estável. Conforme , as soluções do sistema tendem para o ponto de equilíbrio, oscilando cada vez mais perto dele.

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{ dx/dt = x + 2y; dy/dt = 2x - 2y }
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