Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
dx/dt = x - 2y, dy/dt = 3x - 4y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral do sistema e analisar o ponto de equilíbrio em . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e teoria dos autovalores. Vamos precisar achar os autovalores e autovetores da matriz do sistema para montar a solução geral e classificar o ponto de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Temos:
Isso pode ser representado como:
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos o determinante :
Calculando o determinante:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar:
Então, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para :
Isso nos dá a equação , ou seja, . Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é .

Passo 6

Agora, para :
Isso resulta na equação , ou seja, . Podemos escolher , então . Assim, o autovetor é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução associada a um autovalor é da forma:
Então, a solução geral é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 8

Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em . Como ambos os autovalores e são negativos, isso indica que é um ponto de equilíbrio estável, mais especificamente um nó estável. Isso significa que, conforme , as soluções tendem para .

Resposta

A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio é um nó estável, e conforme , as soluções tendem para .

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