Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Então, temos a série
. O objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge usando o teste de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teste de convergência para séries infinitas, especialmente aquele que envolve o limite do termo geral da série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a análise:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que
, que tende a 0 conforme
aumenta. Então:
E também:
Portanto:
Passo 4
Agora, aplicamos o teste de Cauchy para a convergência de séries. O teste afirma que se
, a série pode convergir, mas precisamos de mais informações. No entanto, se o limite for diferente de zero, a série diverge.
Calculando o limite de
:
Como
e
cresce muito rapidamente, o limite de
é 0.
Passo 5
Embora o limite seja 0, precisamos verificar mais a fundo. Considerando que
cresce significativamente mais rápido do que qualquer polinômio ou exponencial de base menor, podemos concluir que os termos da série tendem a zero muito rapidamente.
Portanto, pela comparação com séries conhecidas convergentes, como a série geométrica com razão menor que 1, nossa série converge.
Resposta
A série
é convergente pelo teste de Cauchy.