Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
© sumn=1^infty(n+1n^2 2^n)^n

Passo 1

Então, temos a série . O objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge usando o teste de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teste de convergência para séries infinitas, especialmente aquele que envolve o limite do termo geral da série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a análise:
an = (n+1n^2 2^n)^n
Agora, vamos simplificar essa expressão:
an = (n+1n^2 2^n)^n = (n+1n^2)^n cdot (12^n)^n = (n+1n^2)^n cdot 12^n cdot n

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de (n+1n^2)^n approx (1n)^n quando 12^n cdot n = 12^n^2 tende ao infinito. Observamos que an approx (1n)^n cdot 12^n^2 , que tende a 0 conforme aumenta. Então:
E também:
Portanto:

Passo 4

Agora, aplicamos o teste de Cauchy para a convergência de séries. O teste afirma que se limn to infty (n+1n^2 2^n)^n = limn to infty (n+1n^2)^n cdot 12^n^2 , a série pode convergir, mas precisamos de mais informações. No entanto, se o limite for diferente de zero, a série diverge.
Calculando o limite de :
Como e cresce muito rapidamente, o limite de é 0.

Passo 5

Embora o limite seja 0, precisamos verificar mais a fundo. Considerando que cresce significativamente mais rápido do que qualquer polinômio ou exponencial de base menor, podemos concluir que os termos da série tendem a zero muito rapidamente.
Portanto, pela comparação com séries conhecidas convergentes, como a série geométrica com razão menor que 1, nossa série converge.

Resposta

A série é convergente pelo teste de Cauchy.

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