Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Então, temos a série
. O objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge usando o teste de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teste de convergência para séries infinitas, especialmente aquele que envolve o limite do termo geral da série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a análise:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Observamos que
, que tende a 0 conforme
aumenta. Então:
E também:
Portanto:
Passo 4
Agora, aplicamos o teste de Cauchy para a convergência de séries. O teste afirma que se
, a série pode convergir, mas precisamos de mais informações. No entanto, se o limite for diferente de zero, a série diverge.
Calculando o limite de
:
Como
e
cresce muito rapidamente, o limite de
é 0.
Passo 5
Embora o limite seja 0, precisamos verificar mais a fundo. Considerando que
cresce significativamente mais rápido do que qualquer polinômio ou exponencial de base menor, podemos concluir que os termos da série tendem a zero muito rapidamente.
Portanto, pela comparação com séries conhecidas convergentes, como a série geométrica com razão menor que 1, nossa série converge.
Resposta
A série
é convergente pelo teste de Cauchy.
Exercícios relacionados
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(a)
(a)
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
Seja
uma constante real satisfazendo
. Mostre que
é sempre um ponto de equilíbrio instável do sistema linear
Para quais valores de
o ponto
é um ponto de sela? Para quais valores de
o ponto
é um ponto espiral instável? Para quais valores de
o ponto
é um ponto nó instável? (Os valores de
para os quais as características do equilíbrio mudam são chamados de bifurcações.)
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(d)
(d)