Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
© sumn=1^infty(n+1n^2 2^n)^n

Passo 1

Então, temos a série . O objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge usando o teste de Cauchy. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o teste de convergência para séries infinitas, especialmente aquele que envolve o limite do termo geral da série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da série para facilitar a análise:
an = (n+1n^2 2^n)^n
Agora, vamos simplificar essa expressão:
an = (n+1n^2 2^n)^n = (n+1n^2)^n cdot (12^n)^n = (n+1n^2)^n cdot 12^n cdot n

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de (n+1n^2)^n approx (1n)^n quando 12^n cdot n = 12^n^2 tende ao infinito. Observamos que an approx (1n)^n cdot 12^n^2 , que tende a 0 conforme aumenta. Então:
E também:
Portanto:

Passo 4

Agora, aplicamos o teste de Cauchy para a convergência de séries. O teste afirma que se limn to infty (n+1n^2 2^n)^n = limn to infty (n+1n^2)^n cdot 12^n^2 , a série pode convergir, mas precisamos de mais informações. No entanto, se o limite for diferente de zero, a série diverge.
Calculando o limite de :
Como e cresce muito rapidamente, o limite de é 0.

Passo 5

Embora o limite seja 0, precisamos verificar mais a fundo. Considerando que cresce significativamente mais rápido do que qualquer polinômio ou exponencial de base menor, podemos concluir que os termos da série tendem a zero muito rapidamente.
Portanto, pela comparação com séries conhecidas convergentes, como a série geométrica com razão menor que 1, nossa série converge.

Resposta

A série é convergente pelo teste de Cauchy.

Exercícios relacionados

Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(a) sumn=1^infty (ln n)^nn^n2
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
dx/dt = x - 2y, dy/dt = 3x - 4y
Seja mu uma constante real satisfazendo mu != -1. Mostre que (x, y) = (0, 0) é sempre um ponto de equilíbrio instável do sistema linear
{ x' = mu * x + y; y' = -x + y }
Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto de sela? Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto espiral instável? Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto nó instável? (Os valores de mu para os quais as características do equilíbrio mudam são chamados de bifurcações.)
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(d) sumn=1^infty(-1)^n-1 n(23)^n