Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(a) sumn=1^infty (ln n)^nn^n2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teste de Cauchy para verificar se a série converge ou diverge. O Teste de Cauchy, também conhecido como Teste da Razão, nos ajuda a determinar a natureza da série analisando o limite das razões entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série: . No Teste de Cauchy, calculamos o limite .

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an = (ln (n+1))^n+1(n+1)^n+12 cdot n^n2(ln n)^n :

Passo 4

Simplificando a expressão:
an+1an = ( ln (n+1)ln n )^n cdot ln (n+1)(n+1)^12 cdot n^n2 cdot 1(n+1)^n2
Isso pode ser reescrito como:
( ln (n+1)ln n )^n cdot ln (n+1)raizn+1 cdot ( nn+1 )^n2

Passo 5

Agora, vamos analisar cada parte separadamente para calcular o limite quando :
  1. : Como cresce, , então essa fração tende a 1, e .
  2. : O numerador cresce mais devagar que o denominador, então esse termo tende a 0.
  3. : Esse termo tende a , que é uma constante.

Passo 6

Multiplicando as partes:
1 cdot 0 cdot e^-12 = 0
Então, .

Passo 7

De acordo com o Teste de Cauchy:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Cauchy.

Exercícios relacionados

Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
dx/dt = x - 2y, dy/dt = 3x - 4y
(d) x^5 = 873
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
© sumn=1^infty(n+1n^2 2^n)^n
Seja mu uma constante real satisfazendo mu != -1. Mostre que (x, y) = (0, 0) é sempre um ponto de equilíbrio instável do sistema linear
{ x' = mu * x + y; y' = -x + y }
Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto de sela? Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto espiral instável? Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto nó instável? (Os valores de mu para os quais as características do equilíbrio mudam são chamados de bifurcações.)