Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(a) sumn=1^infty (ln n)^nn^n2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teste de Cauchy para verificar se a série converge ou diverge. O Teste de Cauchy, também conhecido como Teste da Razão, nos ajuda a determinar a natureza da série analisando o limite das razões entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série: . No Teste de Cauchy, calculamos o limite .

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an = (ln (n+1))^n+1(n+1)^n+12 cdot n^n2(ln n)^n :

Passo 4

Simplificando a expressão:
an+1an = ( ln (n+1)ln n )^n cdot ln (n+1)(n+1)^12 cdot n^n2 cdot 1(n+1)^n2
Isso pode ser reescrito como:
( ln (n+1)ln n )^n cdot ln (n+1)raizn+1 cdot ( nn+1 )^n2

Passo 5

Agora, vamos analisar cada parte separadamente para calcular o limite quando :
  1. : Como cresce, , então essa fração tende a 1, e .
  2. : O numerador cresce mais devagar que o denominador, então esse termo tende a 0.
  3. : Esse termo tende a , que é uma constante.

Passo 6

Multiplicando as partes:
1 cdot 0 cdot e^-12 = 0
Então, .

Passo 7

De acordo com o Teste de Cauchy:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Cauchy.

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