Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos o Teste de Cauchy para verificar se a série
converge ou diverge. O Teste de Cauchy, também conhecido como Teste da Razão, nos ajuda a determinar a natureza da série analisando o limite das razões entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
. No Teste de Cauchy, calculamos o limite
.
Passo 3
Vamos calcular a razão
an+1an = (ln (n+1))^n+1(n+1)^n+12 cdot n^n2(ln n)^n :
Passo 4
Simplificando a expressão:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, vamos analisar cada parte separadamente para calcular o limite quando
:
-
: Como cresce, , então essa fração tende a 1, e . -
: O numerador cresce mais devagar que o denominador, então esse termo tende a 0. -
: Esse termo tende a , que é uma constante.
Passo 6
Multiplicando as partes:
Então,
.
Passo 7
De acordo com o Teste de Cauchy:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui,
, então a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Cauchy.
Exercícios relacionados
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
(x, y) = (0, 0) , explicando o que acontece quando
t -> infinito .
dx/dt = x - 2y, dy/dt = 3x - 4y
(d)
x^5 = 873
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
©sumn=1^infty(n+1n^2 2^n)^n
©
Seja
mu uma constante real satisfazendo
mu != -1 . Mostre que
(x, y) = (0, 0) é sempre um ponto de equilíbrio instável do sistema linear
Para quais valores de
mu o ponto
(0,0) é um ponto de sela? Para quais valores de
mu o ponto
(0,0) é um ponto espiral instável? Para quais valores de
mu o ponto
(0,0) é um ponto nó instável? (Os valores de
mu para os quais as características do equilíbrio mudam são chamados de bifurcações.)