Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = 2x + 2y, dy/dt = -2x + 2y }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema de equações diferenciais e analisar o ponto de equilíbrio em . Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares de equações diferenciais e vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Temos:

[
\frac{d}{dt}



]
Aqui, a matriz dos coeficientes é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Para isso, resolvemos o determinante de :
Resolvendo:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Como os autovalores são complexos, a solução geral do sistema terá uma forma envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. A solução geral é:
Aqui, e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos classificar o ponto de equilíbrio . Observamos que os autovalores têm parte real positiva (2), o que indica que o sistema é um nó estável. Isso significa que, quando , as soluções e vão crescer exponencialmente, afastando-se do ponto de equilíbrio.

Resposta

A solução geral do sistema é
O ponto de equilíbrio em é um ponto de foco instável, já que quando , as soluções crescem exponencialmente afastando-se do equilíbrio.

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