Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema de equações diferenciais e analisar o ponto de equilíbrio em
. Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares de equações diferenciais e vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Temos:
[
\frac{d}{dt}
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Para isso, resolvemos o determinante de
:
Resolvendo:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 4
Como os autovalores são complexos, a solução geral do sistema terá uma forma envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. A solução geral é:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos classificar o ponto de equilíbrio
. Observamos que os autovalores têm parte real positiva (2), o que indica que o sistema é um nó estável. Isso significa que, quando
, as soluções
e
vão crescer exponencialmente, afastando-se do ponto de equilíbrio.
Resposta
A solução geral do sistema é
O ponto de equilíbrio em
é um ponto de foco instável, já que quando
, as soluções crescem exponencialmente afastando-se do equilíbrio.